МатАнПрод:Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций

Интегралы вида $\int R(\sin x,\cos x)dx$

где $R(u,v)$ - рациональная функция аргументов $u,v$.

I. Универсальная тригонометрическая подстановка: $$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$$ Тогда: $\sin x=\frac{2\sin (x/2)\cos (x/2)}{{\sin }^2(x/2)+{\cos }^2(x/2)}=\frac{2\tan (x/2)}{1+{\tan }^2(x/2)}=\frac{2t}{1+t^2}$ $\cos x=\frac{{\cos }^2(x/2)-{\sin }^2(x/2)}{{\sin }^2(x/2)+{\cos }^2(x/2)}=\frac{1-{\tan }^2(x/2)}{1+{\tan }^2(x/2)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ $x=2\arctan t⟹dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ Эта подстановка всегда сводит интеграл от рациональной функции синуса и косинуса к интегралу от рациональной функции $t$.

Пример: $\int \frac{dx}{\sin x}$ Подставляем: $\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{1+t^2}{2t}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+C=\ln |\tan \left(\frac{x}{2}\right)|+C$.

II. Частные случаи (более простые подстановки): Иногда универсальная подстановка приводит к громоздким вычислениям. Используют более простые подстановки, если подынтегральная функция $R(\sin x,\cos x)$ обладает определенными свойствами симметрии:

1. Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\sin x$), то используется подстановка $t=\cos x$. $dt=-\sin xdx$. Выражаем $\sin x=\pm \sqrt{1-t^2}$.
2. Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\cos x$), то используется подстановка $t=\sin x$. $dt=\cos xdx$. Выражаем $\cos x=\pm \sqrt{1-t^2}$.
3. Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ (функция четна по $\sin x$ и $\cos x$ одновременно), то используется подстановка $t=\tan x$ (или $t=\cot x$). $t=\tan x⟹x=\arctan t⟹dx=\frac{dt}{1+t^2}$. $\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ Также есть вариант с $t=\cos 2x$, по крайней мере он упоминается в лекции.

Примечание: Интегрирование гиперболических функций $R(\sinh x,\cosh x)$ производится аналогично, с использованием подстановки $t=\tanh (x/2)$ или частных случаев.

1. Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\sin x$), то подстановка $t=\cos x$. Примерный интервал $x\in (0,\pi )$.
2. Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\cos x$), то подстановка $t=\sin x$. Примерный интервал $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.
3. Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ (функция четна по $\sin x$ и $\cos x$ одновременно), то подстановка $t=\tan x$. Примерный интервал $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

Интегралы вида $\int R(\sin x,\cos x)dx$

II. Частные случаи (продолжение):

1. Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\sin x$), то подстановка $t=\cos x$. Примерный интервал $x\in (0,\pi )$.
2. Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (функция нечетна по $\cos x$), то подстановка $t=\sin x$. Примерный интервал $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.
3. Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ (функция четна по $\sin x$ и $\cos x$ одновременно), то подстановка $t=\tan x$. Примерный интервал $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

III. Интегралы вида $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$, $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

Правила: 1. Если $m+n$ - чётное число, то используется подстановка $t=\tan x$. 2. Если $m+n$ - нечётное число, то: * Если $m$ - нечётное, то $t=\cos x$. * Если $n$ - нечётное, то $t=\sin x$. (Примечание: Если оба $m,n$ нечетные, любая из подстановок $t=\cos x$ или $t=\sin x$ подойдет).

Пример 1: $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx$ Здесь $m=3$ (нечетное), $n=4$. Сумма $m+n=7$ (нечетная). Используем подстановку $t=\cos x$. $dt=-\sin xdx$. $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x(\sin xdx)=\int (1-{\cos }^{}x){\cos }^{}x(\sin xdx)$ $=-\int (1-t^2)t^{4}dt=-\int (t^4-t^6)dt=-(\frac{t^5}{5}-\frac{t^7}{7})+C$ $=-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\frac{{\cos }^{7}x}{7}+C$.

Пример 2: $\int \sin x\sin 3xdx$ Используем формулу преобразования произведения в сумму: $\sin A\sin B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B))$ $\int \sin x\sin 3xdx=\frac{1}{2}\int (\cos (x-3x)-\cos (x+3x))dx=\frac{1}{2}\int (\cos (-2x)-\cos (4x))dx$ $=\frac{1}{2}\int (\cos 2x-\cos 4x)dx=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}\sin 4x)+C$ $=\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{8}\sin 4x+C$.

IV. Интегралы вида:

• $\int \sin (\alpha x)\sin (\beta x)dx$
• $\int \cos (\alpha x)\cos (\beta x)dx$
• $\int \sin (\alpha x)\cos (\beta x)dx$

Берутся с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму/разность.

V. Интегралы вида $\int R(\sinh x,\cosh x)dx$

Аналогично тригонометрическим, можно использовать универсальную гиперболическую подстановку: $t=\tanh \left(\frac{x}{2}\right)$ Тогда: $\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}$ $\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$ $dx=\frac{2dt}{1-t^2}$ Эта подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной функции $t$. Также существуют частные случаи, аналогичные тригонометрическим.

Пример: $\int {\cosh }^{5}x{\sinh }^{7}xdx$ Пусть $t=\sinh x$. $dt=\cosh xdx$. $\int {\cosh }^{4}x{\sinh }^{7}x(\cosh xdx)=\int ({\cosh }^{}x{)}^2{\sinh }^{}x(\cosh xdx)$ $=\int (1+{\sinh }^{2}x{)}^2{\sinh }^{7}x(\cosh xdx)=\int (1+t^2{)}^2{t}^{7}dt$ $=\int (1+2t^2+t^4)t^{7}dt=\int (t^7+2t^9+t^{11})dt$ $=\frac{t^8}{8}+\frac{2t^{10}}{10}+\frac{t^{12}}{12}+C=\frac{{\sinh }^{8}x}{8}+\frac{1}{5}{\sinh }^{10}x+\frac{1}{12}{\sinh }^{12}x+C$.