МатАнПрод:Интегрирование рациональных функций

Основные понятия

Определение: Многочленом (полиномом) $P_n(x)$ степени $n$ ($n\ge 0$, $n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$) называется функция вида: $P_n(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$, где $a_i\in \mathbb{ℝ}$, $a_n\ne 0$.

Определение: Рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция вида $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$, где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ - многочлены.

Определение: Рациональная функция $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя: $\mathrm{deg}(P_n(x))<\mathrm{deg}(Q_m(x))$. В противном случае (если $n\ge m$) дробь называется неправильной.

Теорема (о делении многочленов с остатком): Если рациональная дробь $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ является неправильной ($n\ge m$), то существует единственное представление в виде: $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=M_{n-m}(x)+\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ где $M_{n-m}(x)$ - многочлен (целая часть), а $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ - правильная рациональная дробь ($k=\mathrm{deg}(N_k(x))<m$).

Определение: Число $x_0$ называется корнем многочлена $Q_m(x)$, если $Q_m(x_0)=0$.

Теорема Безу: Число $x_0$ является корнем многочлена $Q_m(x)$ тогда и только тогда, когда $Q_m(x)$ делится на $(x-x_0)$ без остатка, т.е. $Q_m(x_0)=0⟺Q_m(x)=(x-x_0)Q_{m-1}(x)$, где $Q_{m-1}(x)$ - многочлен степени $m-1$.

Теорема (о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами): Если многочлен $Q_m(x)$ имеет действительные коэффициенты и число $x_0=\alpha +i\beta \in \mathbb{ℂ}$ ($\beta \ne 0$) является его корнем, то сопряженное число ${\overline{x}}_0=\alpha -i\beta$ также является корнем $Q_m(x)$. Доказательство: Пусть $Q_m(x)=c_0+c_{1}x+\dots +c_m{x}^m$, где $c_i\in \mathbb{ℝ}$. Если $Q_m(x_0)=0$, то $c_0+c_1{x}_0+\dots +c_m{x}_0^m=0$. Возьмем комплексное сопряжение от обеих частей: $\overline{c_0+c_1{x}_0+\dots +c_m{x}_0^m}=\bar{0}$ $\overline{c_0}+\overline{c_1{x}_0}+\dots +\overline{c_m{x}_0^m}=0$ Так как $c_i\in \mathbb{ℝ}$, то $\overline{c_i}=c_i$. Используя свойства сопряжения ($\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$, $\overline{ab}=\overline{a}\overline{b}$), получаем: $c_0+c_1{\overline{x}}_0+\dots +c_m{\overline{x}}_0^m=0$. Это означает, что $Q_m({\overline{x}}_0)=0$, т.е. ${\overline{x}}_0$ - корень $Q_m(x)$.

Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени $m\ge 1$ с действительными (или комплексными) коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел $\mathbb{ℂ}$.

Следствие: Любой многочлен $Q_m(x)$ степени $m\ge 1$ с действительными коэффициентами имеет ровно $m$ корней в $\mathbb{ℂ}$ (с учетом их кратности).

Разложение многочлена на множители

Рассуждение:

1. Пусть дан многочлен $Q_m(x)$ с действительными коэффициентами. По основной теореме алгебры, существует корень $x_1\in \mathbb{ℂ}$ такой, что $Q_m(x_1)=0$.
2. По теореме Безу, $Q_m(x)=(x-x_1)Q_{m-1}^{(1)}(x)$. 3. Применяя теорему Безу последовательно к $Q_{m-1}^{(1)}(x)$, $Q_{m-2}^{(2)}(x)$, …, получаем разложение на линейные множители над $\mathbb{ℂ}$: $Q_m(x)=c_m(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_m)$ где $x_1,x_2,...,x_m$ - все корни многочлена $Q_m(x)$ (с учетом кратности), а $c_m$ - старший коэффициент многочлена $Q_m(x)$.

3. Если $Q_m(x)$ имеет действительные коэффициенты, то его комплексные корни $(\beta \ne 0)$ входят сопряженными парами. Пусть $x_0=\alpha +i\beta$ - корень, тогда ${\overline{x}}_0=\alpha -i\beta$ - тоже корень. В разложении над $\mathbb{ℝ}$ пара линейных множителей $(x-x_0)(x-{\overline{x}}_0)$ объединяется в один квадратичный множитель с действительными коэффициентами: $(x-x_0)(x-{\overline{x}}_0)=(x-(\alpha +i\beta ))(x-(\alpha -i\beta ))$ $=((x-\alpha )-i\beta )((x-\alpha )+i\beta )$ $=(x-\alpha {)}^2-(i\beta {)}^2=(x-\alpha {)}^2+{\beta }^2$ $=x^2-2\alpha x+{\alpha }^2+{\beta }^2$ Обозначим $p=-2\alpha$ и $q={\alpha }^2+{\beta }^2$. Тогда множитель имеет вид $x^2+px+q$. Дискриминант этого квадратного трехчлена: $D=p^2-4q=(-2\alpha {)}^2-4({\alpha }^2+{\beta }^2)=4{\alpha }^2-4{\alpha }^2-4{\beta }^2=-4{\beta }^2$. Так как $\beta \ne 0$, то $D=-4{\beta }^2<0$. Это означает, что квадратный трехчлен $x^2+px+q$ не имеет действительных корней и является неприводимым над полем $\mathbb{ℝ}$.

4. Таким образом, любой многочлен $Q_m(x)$ с действительными коэффициентами может быть разложен над $\mathbb{ℝ}$ в произведение своего старшего коэффициента $c_m$, линейных множителей вида $(x-x_k)$, соответствующих действительным корням $x_k$, и квадратичных множителей вида $(x^2+p_{j}x+q_j)$ с отрицательным дискриминантом, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней. $Q_m(x)=c_m(x-x_{r_1}{)}^{k_1}\dots (x-x_{r_s}{)}^{k_s}(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}\dots (x^2+p_{t}x+q_t{)}^{l_t}$ где $\sum k_i+2\sum l_j=m$.

Теорема о разложении многочлена над $\mathbb{ℝ}$

Теорема: Любой многочлен $Q_m(x)$ степени $m\ge 1$ с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения своего старшего коэффициента $c_m$ и множителей вида $(x-x_i)$ и $(x^2+p_{j}x+q_j)$, где $x_i$ - действительные корни, а $x^2+p_{j}x+q_j$ - неприводимые над $\mathbb{ℝ}$ квадратные трехчлены ($p_j^2-4q_j<0$), соответствующие парам комплексно-сопряженных корней. Будем считать $c_m=1$ (если нет, можно вынести за скобки). $Q_m(x)=(x-x_1{)}^{k_1}(x-x_2{)}^{k_2}\dots (x-x_p{)}^{k_p}(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}(x^2+p_{2}x+q_2{)}^{l_2}\dots (x^2+p_{s}x+q_s{)}^{l_s}$ где: * $x_i\in \mathbb{ℝ}$ - различные действительные корни * $k_i\in \mathbb{\mathbb{N}}$ - кратности действительных корней * $p_j,q_j\in \mathbb{ℝ}$, $p_j^2-4q_j<0$ (квадратные трехчлены неприводимы) * $l_j\in \mathbb{\mathbb{N}}$ - кратности пар комплексно-сопряженных корней * Сумма кратностей: ${\sum }_{i=1}^p{k}_i+2{\sum }_{j=1}^s{l}_j=m=\mathrm{deg}(Q_m(x))$.