МатАнПрод:Интегрирование рациональных функций

Определение: Многочленом (полиномом) $P_{n} (x)$ степени $n$ ( $n \geq 0$ , $n \in ℤ$ ) называется функция вида: $P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ , где $a_{i} \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$ .

Определение: Рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция вида $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ , где $P_{n} (x)$ и $Q_{m} (x)$ - многочлены.

Определение: Рациональная функция $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя: $\deg (P_{n} (x)) < \deg (Q_{m} (x))$ . В противном случае (если $n \geq m$ ) дробь называется неправильной.

Теорема (о делении многочленов с остатком): Если рациональная дробь $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)}$ является неправильной ( $n \geq m$ ), то существует единственное представление в виде: $\frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)} = M_{n - m} (x) + \frac{N_{k} (x)}{Q_{m} (x)}$ где $M_{n - m} (x)$ - многочлен (целая часть), а $\frac{N_{k} (x)}{Q_{m} (x)}$ - правильная рациональная дробь ( $k = \deg (N_{k} (x)) < m$ ).

Определение: Число $x_{0}$ называется корнем многочлена $Q_{m} (x)$ , если $Q_{m} (x_{0}) = 0$ .

Теорема Безу: Число $x_{0}$ является корнем многочлена $Q_{m} (x)$ тогда и только тогда, когда $Q_{m} (x)$ делится на $(x - x_{0})$ без остатка, т.е. $Q_{m} (x_{0}) = 0 ⟺ Q_{m} (x) = (x - x_{0}) Q_{m - 1} (x)$ , где $Q_{m - 1} (x)$ - многочлен степени $m - 1$ .

Теорема (о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами): Если многочлен $Q_{m} (x)$ имеет действительные коэффициенты и число $x_{0} = α + i β \in ℂ$ ( $β \neq 0$ ) является его корнем, то сопряженное число ${\bar{x}}_{0} = α - i β$ также является корнем $Q_{m} (x)$ . Доказательство: Пусть $Q_{m} (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{m} x^{m}$ , где $c_{i} \in ℝ$ . Если $Q_{m} (x_{0}) = 0$ , то $c_{0} + c_{1} x_{0} + \dots + c_{m} x_{0}^{m} = 0$ . Возьмем комплексное сопряжение от обеих частей: $\overline{c_{0} + c_{1} x_{0} + \dots + c_{m} x_{0}^{m}} = \overline{0}$ $\overline{c_{0}} + \overline{c_{1} x_{0}} + \dots + \overline{c_{m} x_{0}^{m}} = 0$ Так как $c_{i} \in ℝ$ , то $\overline{c_{i}} = c_{i}$ . Используя свойства сопряжения ( $\overline{a + b} = \bar{a} + \bar{b}$ , $\overline{a b} = \bar{a} \bar{b}$ ), получаем: $c_{0} + c_{1} {\bar{x}}_{0} + \dots + c_{m} {\bar{x}}_{0}^{m} = 0$ . Это означает, что $Q_{m} ({\bar{x}}_{0}) = 0$ , т.е. ${\bar{x}}_{0}$ - корень $Q_{m} (x)$ .

Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени $m \geq 1$ с действительными (или комплексными) коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел $ℂ$ .

Следствие: Любой многочлен $Q_{m} (x)$ степени $m \geq 1$ с действительными коэффициентами имеет ровно $m$ корней в $ℂ$ (с учетом их кратности).