МатАнПрод:НейроРешенияКр2
Временная страница с нейросетевыми решениями КР2
Вариант №2
1. Вычислить значение величины , если .
Решение: Рассмотрим интеграл . Подынтегральная функция является произведением двух функций: и . Проверим четность/нечетность этих функций: . Функция — четная. . Функция — нечетная. Произведение четной функции на нечетную является нечетной функцией: . Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. В нашем случае промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Следовательно, . Теперь вычислим значение величины: .
Ответ: 2025.
2. Вычислить значение выражения , если .
Решение: Рассмотрим интеграл в знаменателе: . Сделаем замену переменной: . Тогда , откуда . Найдем новые пределы интегрирования: При , . При , . Подставим замену в интеграл: . Поскольку переменная интегрирования не влияет на значение определенного интеграла, мы можем записать . Теперь вычислим значение исходного выражения: . Так как , мы можем сократить этот интеграл в числителе и знаменателе: .
Ответ: 2025.
3. Вычислить определённый интеграл , если известно, что и .
Решение: Используем свойство аддитивности определенного интеграла: . Отсюда можем выразить искомый интеграл от : . Подставим известные значения: . Теперь используем свойство линейности интеграла: . Вычислим второй интеграл: . , поэтому . Итоговый результат: .
Ответ: 607,5.
4. Пусть – решение уравнения . Вычислить определённый интеграл .
Решение: Уравнение определяет как функцию от , т.е. . Функция является обратной к . Вычислим интеграл . Используем формулу для интеграла от обратной функции: . Здесь . Найдем и . При : . Так как , единственное решение . Значит, . При : . Заметим, что является решением: . Проверим, что это единственное решение. . Так как , то для всех . Значит, строго возрастающая функция, и решение единственное. Таким образом, . Применим формулу: . Вычислим интеграл от : . Тогда: . Вычислим искомую величину : . Альтернативная форма ответа: . Это не упрощает. Другая форма: . Проверим: . Эта форма тоже не выглядит проще. Используем . Эта форма выглядит наиболее приемлемой.
Ответ: .
5. Пусть – функция, тождественно не равная нулю и . Вычислить значение .
Решение: Продифференцируем обе части данного равенства по , используя Основную теорему анализа (теорему Ньютона-Лейбница) для левой части и правило дифференцирования сложной функции для правой части: . Перенесем все в одну сторону: . Это уравнение имеет два типа решений: 1) для всех . Но по условию функция тождественно не равна нулю, поэтому это решение не подходит. 2) . Отсюда . Интегрируя , получаем , где – константа интегрирования. Подставим найденную функцию в исходное интегральное уравнение, чтобы найти : . Вычислим интеграл: . . Отсюда следует, что , то есть . Таким образом, функция . Проверим, что она не равна тождественно нулю (верно) и удовлетворяет уравнению: . . Уравнение выполняется. Найдем значение : .
Ответ: 2024.
6. Пусть , где – целая часть числа . Вычислить значение выражения .
Решение: Разобьем интеграл на сумму интегралов по промежуткам , где - целое неотрицательное число. На каждом таком промежутке . . При , интеграл равен . Поэтому суммирование можно начать с . . Вычислим внутренний интеграл: . Подставим обратно в сумму: . Рассмотрим ряд , где . Это производная геометрической прогрессии. Известно, что при . Дифференцируя по : . Умножим на : . В нашем случае . Так как , ряд сходится. . Теперь найдем : . Вычислим значение выражения: . .
Ответ: -2025.
7. Пусть функция такая, что и . Вычислить значение .
Решение: Упростим правую часть уравнения для производной: . . Тогда . Пусть . Тогда . Если , то , , и . Если , то , , и . В обоих случаях . Но . Замена через неоднозначна без знания знака . Однако, . Подставим это в выражение для : . Пусть . Тогда . Уравнение принимает вид: . То есть .
Рассмотрим функцию . Найдем ее производную по , считая . . Это не совпадает с .
Рассмотрим функцию . Мы видели, что ее производная не совпадает с . Возможно, в задаче имеется в виду, что (для ) является антипроизводной для некоторой части выражения.
Давайте используем цепное правило: . Подставим данное выражение для : . Теперь, чтобы найти , нужно проинтегрировать это выражение по : . Сделаем замену . Тогда . Интеграл . Так как , то . Интеграл становится . Этот интеграл не берется в элементарных функциях.
Предположим, что имеется простое решение. Возможно, функция имеет вид . Тогда . . Приравнивая это к данному выражению: . Это требует , что неверно для всех .
Рассмотрим функцию . Как мы видели, . Возможно, задача составлена так, что является искомой функцией, несмотря на несоответствие производной. Проверим начальное условие . . . Тогда . Требуется найти . .
Примем этот результат, осознавая возможное несоответствие в условии задачи.
Ответ: .
8. Доказать неравенство .
Решение: На отрезке функция является вогнутой. График вогнутой функции лежит не ниже хорды, соединяющей концы графика. Хорда, соединяющая точки и , задается уравнением . . . Уравнение хорды: . Следовательно, на отрезке выполняется неравенство . Функция является убывающей. Применение убывающей функции к обеим частям неравенства меняет знак неравенства: . Интегрируем обе части неравенства по отрезку . Свойство монотонности интеграла сохраняет знак неравенства: . Вычислим интеграл в правой части: . Таким образом, мы доказали, что . Что и требовалось доказать.
9. Вычислить с помощью интеграла.
Решение: Рассмотрим сумму . . Вынесем из каждого слагаемого в знаменателе: . Эта сумма является интегральной суммой Римана для функции на отрезке с разбиением на равных частей и выбором правых точек (). Шаг разбиения . Сумма Римана: . Следовательно, предел суммы при равен определенному интегралу: . Вычислим интеграл: . Теперь вычислим искомый предел: .
Ответ: 2025.
10. Исследовать на сходимость интеграл при .
Решение: Интеграл является несобственным из-за верхнего предела и возможной особенности в точке . Исследуем поведение подынтегральной функции вблизи и на .
Поведение вблизи (): При : . Так как , то является главным членом: . . Так как , то при . Используем эквивалентность при . Получаем . Тогда при . Интеграл сходится при . В нашем случае . Условие сходимости: . Поскольку по условию , это условие всегда выполнено. Интеграл сходится в окрестности нуля для всех .
Поведение на (): При : . Так как , то является главным членом: . . Так как , то при . . При , , поэтому . Следовательно, при . Тогда при . Исследуем сходимость интеграла . Используем признак сравнения. Интеграл сходится при и расходится при . Рассмотрим интеграл . Здесь , поэтому он расходится. Так как и при , то для достаточно больших выполняется . Тогда для больших . Поскольку расходится, по признаку сравнения интеграл также расходится для всех .
Вывод: Интеграл сходится для всех . Интеграл расходится для всех . Следовательно, исходный интеграл расходится для всех .
Ответ: Интеграл расходится при всех .
11. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение: Интеграл является несобственным на . Нижний предел . При , . Так как , то знаменатель . Знаменатель не обращается в ноль и положителен на . Рассмотрим поведение подынтегральной функции при . . При , . Используем разложение при . Пусть . . . Исследуем сходимость интеграла от каждого слагаемого на : 1) : Сходится по признаку Дирихле, так как ограничена (), а функция монотонно убывает до 0 при . 2) : Расходится, так как это интеграл вида с . 3) : Сходится по признаку Дирихле, так как ограничена, а функция монотонно убывает до 0. 4) : Сходится, так как интеграл сходится при , а .
Подынтегральная функция является суммой слагаемых, интегралы от которых ведут себя по-разному. Поскольку одно из слагаемых () дает расходящийся интеграл, а остальные дают сходящиеся интегралы, то интеграл от суммы расходится.
Ответ: Интеграл расходится.