МатАнПрод:ВопросыКлк2сем

Первообразная. Теорема о семействе первообразных функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Определение (Первообразная): Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, если $F(x)$ дифференцируема на $I$ и выполняется равенство:

$F^{\prime }(x)=f(x)$ для всех $x\in I$.

Теорема (О семействе первообразных): Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на том же интервале $I$ имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$,

где $C$ — произвольная постоянная ($C\in \mathbb{ℝ}$).

Определение (Неопределенный интеграл): Совокупность всех первообразных $F(x)+C$ для функции $f(x)$ на интервале $I$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается символом $\int f(x)dx$.

$\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

   $(\int f(x)dx)=(F(x)+C{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

   $d(\int f(x)dx)=(\int f(x)dx)dx=f(x)dx$

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

   $\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C$

4. Линейность: Если $\int f(x)dx$ и $\int g(x)dx$ существуют, то для любых констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ существует $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx$, и

   $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$

Таблица основных формул интегрирования:

• $\int 0dx=C$
• $\int 1dx=x+C$
• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ ($\alpha \ne -1$)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0,a\ne 1$)
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos \frac{x}{a}+C_1$ ($a>0$)
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\text{arccot}\frac{x}{a}+C_1$ ($a\ne 0$)
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ (длинный логарифм)
• $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
• $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
• $\int \frac{1}{{\cosh }^{2}x}dx=\tanh x+C$
• $\int \frac{1}{{\sinh }^{2}x}dx=-\coth x+C$

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Пусть требуется вычислить $\int f(x)dx$.

Теорема (Формула замены переменной): Пусть функция $x=\phi (t)$ имеет непрерывную производную ${\phi }^{\prime }(t)$, и существует обратная функция $t={\phi }^{-1}(x)$. Пусть существует интеграл $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=G(t)+C$. Тогда существует $\int f(x)dx$ и выполняется равенство:

$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt{|}_{t={\phi }^{-1}(x)}=G({\phi }^{-1}(x))+C$

Идея метода: 1. Вводим новую переменную $t$ через подстановку $x=\phi (t)$ (или $t=\psi (x)$). 2. Находим дифференциал $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$. 3. Подставляем $x$ и $dx$ в исходный интеграл, выражая его через $t$: $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$. 4. Вычисляем полученный интеграл по переменной $t$. 5. Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя обратную замену $t={\phi }^{-1}(x)$.

Альтернативная форма (подстановка вида $t=\psi (x)$): Если $t=\psi (x)$, то $dt={\psi }^{\prime }(x)dx$. Если подынтегральное выражение можно представить как $g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx$, то:

$\int g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx=\int g(t)dt{|}_{t=\psi (x)}$

Метод интегрирования по частям

Теорема (Формула интегрирования по частям): Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют непрерывные производные $u^{\prime }(x)$ и $v^{\prime }(x)$ на некотором интервале. Тогда справедливо равенство:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$

или, в дифференциальной форме ($dv=v^{\prime }(x)dx$, $du=u^{\prime }(x)dx$):

$\int udv=uv-\int vdu$

Вывод формулы: Формула следует из правила дифференцирования произведения двух функций:

$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Интегрируя обе части по $x$, получаем:

$\int (u(x)v(x){)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

По определению неопределенного интеграла, $\int (uv{)}^{\prime }dx=uv+C$. Учитывая, что интеграл в правой части также вычисляется с точностью до константы, её можно опустить на этом шаге:

$uv=\int vdu+\int udv$

Перенося $\int vdu$ в другую часть равенства, получаем формулу интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

Идея метода: Представить подынтегральное выражение $f(x)dx$ в виде $udv$ так, чтобы интеграл $\int vdu$ был проще исходного или сводился к нему.

Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

Определение (Рациональная функция): Рациональная функция (или дробь) — это функция вида $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$, где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ — многочлены степеней $n$ и $m$ соответственно.

Шаг 1: Выделение целой части (если дробь неправильная) Если $n=\mathrm{deg}(P_n)\ge m=\mathrm{deg}(Q_m)$ (дробь неправильная), то делим $P_n(x)$ на $Q_m(x)$ "уголком":

$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=M_{n-m}(x)+\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$,

где $M_{n-m}(x)$ — многочлен (целая часть), а $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ — правильная рациональная дробь ($k=\mathrm{deg}(N_k)<m$). Интегрирование сводится к:

$\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx=\int M_{n-m}(x)dx+\int \frac{N_k(x)}{Q_m(x)}dx$

Интеграл от многочлена $M_{n-m}(x)$ вычисляется просто. Основная задача — интегрирование правильной рациональной дроби.

Шаг 2: Разложение правильной рациональной дроби на простейшие Пусть дана правильная дробь $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ ($k<m$).

1. Факторизация знаменателя: Разложить знаменатель $Q_m(x)$ на неприводимые множители над $\mathbb{ℝ}$:

   :$Q_m(x)=c\cdot (x-x_1{)}^{k_1}\cdots (x-x_p{)}^{k_p}\cdot (x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}\cdots (x^2+p_{s}x+q_s{)}^{l_s}$
   где $x_i$ — действительные корни кратности $k_i$, $p_j^2-4q_j<0$, и $\sum k_i+2\sum l_j=m$. Константу $c$ можно вынести за знак интеграла.

2. Теорема о разложении: Любая правильная рациональная дробь $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ (с $c=1$) может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших дробей:

   :$\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}=\sum _{i=1}^p\left(\sum _{r=1}^{k_i}\frac{A_{i,r}}{(x-x_i{)}^r}\right)+\sum _{j=1}^s\left(\sum _{t=1}^{l_j}\frac{B_{j,t}x+C_{j,t}}{(x^2+p_{j}x+q_j{)}^t}\right)$
   где $A_{i,r},B_{j,t},C_{j,t}\in \mathbb{ℝ}$ — неопределенные коэффициенты.

3. Нахождение коэффициентов: Коэффициенты $A,B,C$ находятся методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений (подстановкой удобных значений $x$, включая корни знаменателя).

Шаг 3: Интегрирование простейших дробей

• Тип I: $\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C$

• Тип II: ($k\ge 2$)

   :$\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=A\int (x-a{)}^{-k}d(x-a)=\frac{A}{(1-k)(x-a{)}^{k-1}}+C$

• Тип III: ($p^2-4q<0$)

   :$\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q}dx=\int \frac{\frac{B}{2}(2x+p)+(C-\frac{Bp}{2})}{x^2+px+q}dx$
   :$=\frac{B}{2}\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+(C-\frac{Bp}{2})\int \frac{dx}{(x+\frac{p}{2}{)}^2+(q-\frac{p^2}{4})}$
   :$=\frac{B}{2}\ln (x^2+px+q)+\frac{C-Bp/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\arctan \left(\frac{x+p/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\right)+C_1$ (знаменатель $x^2+px+q>0$)

• Тип IV: ($p^2-4q<0,l\ge 2$)

   :$\int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^l}dx=\int \frac{\frac{B}{2}(2x+p)+(C-\frac{Bp}{2})}{(x^2+px+q{)}^l}dx$
   :$=\frac{B}{2}\int (x^2+px+q{)}^{-l}d(x^2+px+q)+(C-\frac{Bp}{2})\int \frac{dx}{((x+\frac{p}{2}{)}^2+a^2{)}^l}$   (где $a^2=q-p^2/4$)
   :$=\frac{B}{2(1-l)(x^2+px+q{)}^{l-1}}+(C-\frac{Bp}{2})I_l$
   :Интеграл $I_l=\int \frac{dt}{(t^2+a^2{)}^l}$ (где $t=x+p/2$) вычисляется по рекуррентной формуле:
   :$I_l=\frac{1}{2a^2(l-1)}\frac{t}{(t^2+a^2{)}^{l-1}}+\frac{2l-3}{2a^2(l-1)}{I}_{l-1}$, сводящей его к $I_1=\frac{1}{a}\arctan (\frac{t}{a})$.

Вывод: Интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции: многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Интегрирование иррациональных функций.

Здесь $R(\cdot ,\cdot )$ обозначает рациональную функцию своих аргументов.

1. Интегралы вида $\int R(x,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_1},\dots ,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_n})dx$

• Условие: $r_1,\dots ,r_n\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ (рациональные), $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$, $ad-bc\ne 0$.
• Метод: Рационализация с помощью подстановки.

   1. Найти $h=\text{НОК}(\text{знаменатели }{r}_1,\dots ,r_n)$.
   2. Использовать подстановку: $t^h=\frac{ax+b}{cx+d}$.
   3. Выразить $x$ и $dx$ через $t$ рационально. Все дробные степени ${\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_i}$ станут целыми степенями $t$.
   4. Интеграл сводится к $\int R_1(t)dt$, где $R_1$ — рациональная функция.

2. Интегралы вида $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$

• Условие: $a,b,c\in \mathbb{ℝ}$, $a\ne 0$, $b^2-4ac\ne 0$.
• Методы:

   *   Подстановки Эйлера: Рационализируют подынтегральную функцию.
       1.  Если $a>0$: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t$.
       2.  Если $c>0$: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}$.
       3.  Если $a{x}^2+bx+c$ имеет действительные корни $x_1,x_2$ ($b^2-4ac>0$): $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t(x-x_1)$ (или $t(x-x_2)$).
       Все подстановки приводят к интегралу от рациональной функции $t$.
   *   Метод Остроградского (для частного случая): Для интеграла вида $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ существует разложение:
       :$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=Q_{n-1}(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\lambda \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$
       где $Q_{n-1}(x)$ — многочлен степени $n-1$ с неопределенными коэффициентами, $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ — константа. Коэффициенты находятся дифференцированием и приравниванием коэффициентов. Оставшийся интеграл — табличный.
   *   Общий случай: Интеграл $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$ можно свести к сумме интеграла от рациональной функции и интеграла вида $\int \frac{P(x)}{Q(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$. Последний, в свою очередь, раскладывается на сумму интегралов вида:
       * $\int \frac{P(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ (берется методом Остроградского).
       * $\int \frac{dx}{(x-\alpha {)}^k\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ (сводится к предыдущему типу подстановкой $t=\frac{1}{x-\alpha }$).
       * $\int \frac{(Ax+B)dx}{(x^2+px+q{)}^k\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ (сводится более сложными подстановками, например, Абеля или дробно-линейной).

3. Интегралы от дифференциального бинома $\int x^m(a{x}^n+b{)}^{p}dx$

• Условие: $m,n,p\in \mathbb{\mathbb{Q}}$; $a,b\in \mathbb{ℝ}$; $a,b,n,p\ne 0$.
• Теорема Чебышёва: Интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:

   1.  $p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (p — целое).
       Подстановка: $x=t^q$, где $q=\text{НОК}(\text{знаменатель }m,\text{ знаменатель }n)$.
   2.  $\frac{m+1}{n}\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (целое).
       Подстановка: $a{x}^n+b=t^s$, где $s=\text{знаменатель }p$.
   3.  $\frac{m+1}{n}+p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (целое).
       Подстановка: $a+b{x}^{-n}=t^s$ (или $a{x}^n+b=x^n{t}^s$), где $s=\text{знаменатель }p$.
   Во всех трех случаях интеграл сводится к интегралу от рациональной функции $t$.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Здесь $R(u,v)$ обозначает рациональную функцию своих аргументов.

1. Интегралы вида $\int R(\sin x,\cos x)dx$

• Универсальная тригонометрическая подстановка:

   Всегда работает, но может приводить к сложным вычислениям.
   :$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$
   Тогда:
   :$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$
   Интеграл сводится к $\int R_1(t)dt$, где $R_1$ — рациональная функция $t$.

• Частные случаи (упрощающие подстановки):

   1.  Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (нечетность по $\sin x$):
       Подстановка: $t=\cos x⟹dt=-\sin xdx$.
   2.  Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (нечетность по $\cos x$):
       Подстановка: $t=\sin x⟹dt=\cos xdx$.
   3.  Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ (четность по $\sin x$ и $\cos x$ одновременно):
       Подстановка: $t=\tan x⟹dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}⟹dx=\frac{dt}{1+t^2}$.
       :$\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ (При подстановке в $R$ корни обычно сокращаются).

2. Интегралы вида $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$, где $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

• Если хотя бы один из показателей $m$ или $n$ — нечетное положительное число:

   *   Если $m$ нечетно: отщепляем $\sin xdx$ и делаем замену $t=\cos x$.
   *   Если $n$ нечетно: отщепляем $\cos xdx$ и делаем замену $t=\sin x$.

• Если оба показателя $m$ и $n$ — четные неотрицательные числа:

   Используем формулы понижения степени:
   :${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$.

• Если $m+n$ — четное отрицательное число (или оба показателя отрицательные):

   Используем подстановку $t=\tan x$ (или $t=\cot x$). Это случай (3) из пункта 1.

3. Интегралы вида $\int \sin (\alpha x)\sin (\beta x)dx$, $\int \cos (\alpha x)\cos (\beta x)dx$, $\int \sin (\alpha x)\cos (\beta x)dx$

• Используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму/разность:

   *   $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
   *   $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$
   *   $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)]$

4. Интегралы вида $\int R(\sinh x,\cosh x)dx$

• Интегрируются аналогично тригонометрическим функциям.
• Универсальная подстановка: $t=\tanh (x/2)$.

   :$\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2},dx=\frac{2dt}{1-t^2}$.

• Частные случаи (нечетность/четность) и интегрирование произведений степеней ${\sinh }^{m}x{\cosh }^{n}x$ аналогичны тригонометрическим, но с использованием гиперболических тождеств (например, ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$).

Определенный интеграл. Эквивалентность различных определений. Свойства линейности и аддитивности интеграла Римана. Теорема о среднем.

Пусть $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$.

• Разбиение $\tau$ отрезка $[a,b]$: $a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$.
• Частичный отрезок: ${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$.
• Длина отрезка: $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$.
• Ранг (мелкость) разбиения: $\lambda (\tau )=\underset{i=1,\dots ,n}{\max }\mathrm{\Delta }{x}_i$.
• Отмеченные точки: $\xi =\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\}$, где ${\xi }_i\in {\mathrm{\Delta }}_i$.
• Оснащенное разбиение: $(\tau ,\xi )$.
• Интегральная сумма Римана: ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$.

Определение (Интеграл Римана через $ϵ-\delta$): Число $I$ называется определенным интегралом (интегралом Римана) функции $f$ на $[a,b]$, если

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }(\tau ,\xi ):\lambda (\tau )<\delta ⟹|{\sigma }_{\tau }(f,\xi )-I|<ϵ$.

Обозначение: $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$. Функция $f$ называется интегрируемой по Риману на $[a,b]$ (обозначение $f\in R[a,b]$).

Определение (Интеграл Римана через последовательности): Число $I$ называется пределом интегральных сумм ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )$ при $\lambda (\tau )\to 0$, если для любой последовательности оснащенных разбиений $({\tau }^k,{\xi }^k)$ такой, что $\lambda ({\tau }^k)\stackrel{k\to \mathrm{\infty }}{\to }0$, выполняется:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sigma }_{{\tau }^k}(f,{\xi }^k)=I$.

Теорема (Эквивалентность определений): Определение интеграла Римана через $ϵ-\delta$ эквивалентно определению через предел последовательностей интегральных сумм.

Свойства интеграла Римана

Теорема (Линейность): Если $f,g\in R[a,b]$ и $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$, то $(\alpha f+\beta g)\in R[a,b]$ и

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

(Док-во: следует из линейности сумм ${\sigma }_{\tau }$ и линейности предела.)

Теорема (Аддитивность по отрезку интегрирования): 1. Если $f\in R[a,b]$ и $c\in (a,b)$, то $f\in R[a,c]$ и $f\in R[c,b]$. 2. Если $f\in R[a,c]$ и $f\in R[c,b]$, то $f\in R[a,b]$ и

  :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.
  (Используя соглашения $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$ и $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, формула верна для любого расположения $a,b,c$.)

Теорема (О среднем): Пусть: 1. $f,g\in R[a,b]$. 2. $g(x)$ знакопостоянна на $[a,b]$ (т.е. $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:g(x)\ge 0$ или $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:g(x)\le 0$). 3. $m=\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)$, $M=\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)$. Тогда $\mathrm{\exists }\mu \in [m,M]$ такое, что:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Дополнительно: Если $f\in C[a,b]$ (непрерывна), то $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$ такое, что $\mu =f(\xi )$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(\xi )\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Частный случай (при $g(x)=1$):

• Если $f\in R[a,b]$, то $\mathrm{\exists }\mu \in [m,M]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mu (b-a)$.
• Если $f\in C[a,b]$, то $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$.

 Величина $f(\xi )=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется средним значением функции $f$ на $[a,b]$.

Определенный интеграл. Свойства об оценках интеграла Римана. Теорема о среднем.

Интеграл

Предполагается $a\le b$ и функции интегрируемы на $[a,b]$.

1. Монотонность интеграла: Если $f,g\in R[a,b]$ и $f(x)\le g(x)$ для всех $x\in [a,b]$, то

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

(Док-во: из $f({\xi }_i)\le g({\xi }_i)$ и $\mathrm{\Delta }{x}_i\ge 0$ следует ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )\le {\sigma }_{\tau }(g,\xi )$, переходим к пределу при $\lambda (\tau )\to 0$.)

Следствие 1 (Неотрицательность): Если $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$, то $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge 0$. (Следует из монотонности при $g(x)=0$ или $g(x)=f(x)$ и $f(x)=0$.)

Следствие 2 (Оценка интеграла константами): Если $f\in R[a,b]$ и $m\le f(x)\le M$ для всех $x\in [a,b]$, то

$m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M(b-a)$.

(Док-во: интегрируем неравенство $m\le f(x)\le M$, используя $\underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx=m(b-a)$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}Mdx=M(b-a)$.) Здесь $m=\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)$ и $M=\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)$.

2. Интегрирование неравенства с модулем: Если $f\in R[a,b]$, то $|f|\in R[a,b]$ и

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$.

(Док-во 1: из $-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$ и монотонности интеграла.) (Док-во 2: из $|\sum f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i|\le \sum |f({\xi }_i)|\mathrm{\Delta }{x}_i$ и перехода к пределу.)

Теорема (О среднем): Пусть: 1. $f,g\in R[a,b]$. 2. $g(x)$ знакопостоянна на $[a,b]$ (т.е. $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:g(x)\ge 0$ или $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:g(x)\le 0$). 3. $m=\underset{x\in [a,b]}{\inf }f(x)$, $M=\underset{x\in [a,b]}{\sup }f(x)$. Тогда $\mathrm{\exists }\mu \in [m,M]$ такое, что:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Дополнительно: Если $f\in C[a,b]$ (непрерывна), то по теореме о промежуточном значении $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$ такое, что $\mu =f(\xi )$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(\xi )\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Частный случай (при $g(x)=1$):

• Если $f\in R[a,b]$, то $\mathrm{\exists }\mu \in [m,M]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mu (b-a)$.
• Если $f\in C[a,b]$, то $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$.

 Величина $f(\xi )=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется средним значением функции $f$ на $[a,b]$.

Суммы Дарбу и их свойства.

Пусть $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ и $\tau =\{a=x_0<x_1<\dots <x_n=b\}$ — разбиение отрезка $[a,b]$. Обозначим ${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$ и $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$.

Определения:

• $m_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f(x)$ — точная нижняя грань $f$ на ${\mathrm{\Delta }}_i$.
• $M_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f(x)$ — точная верхняя грань $f$ на ${\mathrm{\Delta }}_i$.

   (Для существования конечных $m_i,M_i$ требуется ограниченность $f$ на $[a,b]$.)

• Нижняя сумма Дарбу:

   :$s_{\tau }(f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

• Верхняя сумма Дарбу:

   :$S_{\tau }(f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

Свойства сумм Дарбу:

1. Связь с интегральной суммой Римана: Для любого оснащенного разбиения $(\tau ,\xi )$ верно:

   :$s_{\tau }(f)\le {\sigma }_{\tau }(f,\xi )\le S_{\tau }(f)$

2. Суммы Дарбу как точные грани интегральных сумм: При фиксированном разбиении $\tau$:

   :$s_{\tau }(f)=\underset{\xi }{\inf }{\sigma }_{\tau }(f,\xi )$
   :$S_{\tau }(f)=\underset{\xi }{\sup }{\sigma }_{\tau }(f,\xi )$
   (Супремум и инфимум берутся по всем возможным наборам отмеченных точек $\xi$.)

3. Необходимость ограниченности: Если $f$ не ограничена на $[a,b]$, то для любого разбиения $\tau$ хотя бы одна из сумм Дарбу ($S_{\tau }(f)$ или $s_{\tau }(f)$) будет бесконечной ($+\mathrm{\infty }$ или $-\mathrm{\infty }$).

4. Монотонность при измельчении разбиения: Пусть ${\tau }_2$ — измельчение ${\tau }_1$ (т.е., ${\tau }_2$ содержит все точки ${\tau }_1$, ${\tau }_2\supset {\tau }_1$). Тогда:

   :$s_{{\tau }_1}(f)\le s_{{\tau }_2}(f)\le S_{{\tau }_2}(f)\le S_{{\tau }_1}(f)$
   (При добавлении новых точек нижняя сумма не убывает, верхняя — не возрастает.)

5. Сравнение любых сумм Дарбу: Для любых двух разбиений ${\tau }^{\prime }$ и ${\tau }^{″}$ отрезка $[a,b]$ выполняется:

   :$s_{{\tau }^{\prime }}(f)\le S_{{\tau }^{″}}(f)$
   (Любая нижняя сумма не превосходит любую верхнюю сумму.)

6. Нижний и верхний интегралы Дарбу:

   *   Нижний интеграл Дарбу: $I_{*}=\underset{\tau }{\sup }{s}_{\tau }(f)$ (супремум по всем разбиениям $\tau$)
   *   Верхний интеграл Дарбу: $I^{*}=\underset{\tau }{\inf }{S}_{\tau }(f)$ (инфимум по всем разбиениям $\tau$)
   *   Для любого $\tau$: $s_{\tau }(f)\le I_{*}\le I^{*}\le S_{\tau }(f)$.

Необходимое условие интегрируемости функции. Критерий интегрируемости функции.

Теорема: Если функция $f$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ (т.е., $f\in R[a,b]$), то $f$ ограничена на $[a,b]$.

$f\in R[a,b]⟹\mathrm{\exists }C>0:\mathrm{\forall }x\in [a,b],|f(x)|\le C$.

Идея доказательства: Предполагаем, что $f$ интегрируема, но не ограничена. Тогда для любого разбиения $\tau$ найдется отрезок ${\mathrm{\Delta }}_k$, на котором $f$ не ограничена. На этом отрезке можно выбрать отмеченные точки ${\xi }_k$ так, чтобы значение $f({\xi }_k)$ было сколь угодно большим (по модулю). Это позволяет построить интегральные суммы ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )$, которые не стремятся к конечному пределу $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, что противоречит определению интегрируемости. Следовательно, $f$ должна быть ограничена.

Критерий интегрируемости функции по Риману (Критерий Дарбу)

Теорема: Ограниченная функция $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1. В терминах сумм Дарбу: Предел разности верхней и нижней сумм Дарбу равен нулю при стремлении ранга разбиения к нулю:

   :$\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }(S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f))=0$
   Или, в $ϵ-\delta$ форме:
   :$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }\tau :\lambda (\tau )<\delta ⟹S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f)<ϵ$.

2. В терминах интегралов Дарбу: Нижний интеграл Дарбу равен верхнему интегралу Дарбу:

   :$I_{*}=I^{*}$, где $I_{*}=\underset{\tau }{\sup }{s}_{\tau }(f)$ и $I^{*}=\underset{\tau }{\inf }{S}_{\tau }(f)$.
   В этом случае $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=I_{*}=I^{*}$.

3. В терминах колебаний:

   Обозначим $\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)=M_i-m_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f(x)-\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f(x)$ (колебание $f$ на ${\mathrm{\Delta }}_i$). Тогда:
   :$\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=0$
   Или, в $ϵ-\delta$ форме:
   :$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }\tau :\lambda (\tau )<\delta ⟹\sum _{i=1}^n\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i<ϵ$.

Идея доказательства ($\Rightarrow$ Необходимость): Если $f\in R[a,b]$, то $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta$, что для $\lambda (\tau )<\delta$, $|{\sigma }_{\tau }(f,\xi )-I|<ϵ/3$. Отсюда $S_{\tau }(f)\le I+ϵ/3$ и $s_{\tau }(f)\ge I-ϵ/3$. Вычитая, получаем $S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f)\le 2ϵ/3<ϵ$. Идея доказательства ($\Leftarrow$ Достаточность): Если $\lim (S_{\tau }-s_{\tau })=0$, то $I_{*}=I^{*}=I$. Из $s_{\tau }(f)\le {\sigma }_{\tau }(f,\xi )\le S_{\tau }(f)$ и $s_{\tau }(f)\le I\le S_{\tau }(f)$ следует $|{\sigma }_{\tau }(f,\xi )-I|\le S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f)$. Так как правая часть стремится к 0, то ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )\to I$, значит $f\in R[a,b]$.

Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной и кусочно-непрерывной функции.

Напомним, что функция $f$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ ($f\in R[a,b]$) если существует конечный предел интегральных сумм $\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }{\sigma }_{\tau }(f,\xi )=I$.

Необходимое условие: Если $f\in R[a,b]$, то $f$ ограничена на $[a,b]$.

Критерий Дарбу (в терминах колебания): $f\in R[a,b]⟺\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=0$, где $\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f(x)-\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f(x)$ — колебание функции $f$ на отрезке ${\mathrm{\Delta }}_i$.

--- Теорема 1: Интегрируемость непрерывных функций Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ ($f\in C[a,b]$), то она интегрируема по Риману на $[a,b]$ ($f\in R[a,b]$).

Доказательство (идея): 1. Если $f\in C[a,b]$, то $f$ равномерно непрерывна на $[a,b]$ (Теорема Кантора). 2. $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in [a,b]:|x^{\prime }-x^{″}|<\delta ⟹|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\frac{ϵ}{b-a}$. 3. Возьмем разбиение $\tau$ с рангом $\lambda (\tau )<\delta$. Тогда для любого ${\mathrm{\Delta }}_i$, его длина $\mathrm{\Delta }{x}_i<\delta$. 4. Колебание $\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)=\underset{{\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f-\underset{{\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f=f(x{\text{'}}_i)-f(x^{\prime }{\text{'}}_i)$ для некоторых $x{\text{'}}_i,x^{\prime }{\text{'}}_i\in {\mathrm{\Delta }}_i$ (т.к. $f$ непрерывна на ${\mathrm{\Delta }}_i$). 5. Поскольку $|x{\text{'}}_i-x^{\prime }{\text{'}}_i|<\delta$, то $\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)=|f(x{\text{'}}_i)-f(x^{\prime }{\text{'}}_i)|<\frac{ϵ}{b-a}$. 6. Оцениваем сумму из критерия Дарбу:

   :$\sum _{i=1}^n\omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i<\sum _{i=1}^n\frac{ϵ}{b-a}\mathrm{\Delta }{x}_i=\frac{ϵ}{b-a}(b-a)=ϵ$.

7. Так как $\sum \omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i<ϵ$ при $\lambda (\tau )<\delta$, по критерию Дарбу $f\in R[a,b]$.

--- Определение (Кусочно-непрерывная функция, КНФ): Функция $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ называется кусочно-непрерывной на $[a,b]$, если: 1. Существует конечное разбиение $a=c_0<c_1<\dots <c_m=b$. 2. На каждом интервале $(c_{i-1},c_i)$ функция $f$ непрерывна. 3. В каждой точке $c_i$ ($i=0,\dots ,m$) существуют конечные односторонние пределы $f(c_i+0)$ (для $i<m$) и $f(c_i-0)$ (для $i>0$).

  (Т.е. все точки разрыва - это точки разрыва I рода).

Теорема 2: Интегрируемость кусочно-непрерывных функций Если функция $f$ кусочно-непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема по Риману на $[a,b]$ ($f\in R[a,b]$).

Доказательство (идея): 1. Ограниченность: КНФ ограничена на $[a,b]$, так как она непрерывна на интервалах $(c_{i-1},c_i)$ и имеет конечные пределы в точках разрыва $c_i$. 2. Вспомогательная функция: Рассмотрим функцию $\tilde{f}(x)$, которая совпадает с $f(x)$ во всех точках непрерывности $x\in (c_{i-1},c_i)$. В точках $c_i$ доопределим $\tilde{f}(c_i)$ любыми значениями (например, $\tilde{f}(c_i)=f(c_i+0)$ или $0$). 3. Интегрируемость $\tilde{f}$ на подынтервалах: На каждом замкнутом отрезке $[c_{i-1},c_i]$ функция $\tilde{f}$ может быть доопределена в концах $c_{i-1},c_i$ так, чтобы стать непрерывной на этом отрезке (например, $\tilde{f}(c_{i-1})=f(c_{i-1}+0)$, $\tilde{f}(c_i)=f(c_i-0)$). Такая доопределенная функция ${\tilde{f}}_i$ непрерывна на $[c_{i-1},c_i]$, следовательно, ${\tilde{f}}_i\in R[c_{i-1},c_i]$. 4. Интегрируемость $\tilde{f}$ на $[a,b]$: По свойству аддитивности, если функция интегрируема на частях $[c_{i-1},c_i]$, то она интегрируема и на всем отрезке $[a,b]$. Таким образом, $\tilde{f}\in R[a,b]$. 5. Связь $f$ и $\tilde{f}$: Функции $f$ и $\tilde{f}$ отличаются только в конечном числе точек $c_0,c_1,\dots ,c_m$. 6. Теорема об изменении в конечном числе точек: Изменение значений интегрируемой функции в конечном числе точек не влияет на её интегрируемость и значение интеграла. 7. Вывод: Так как $\tilde{f}\in R[a,b]$ и $f$ отличается от $\tilde{f}$ в конечном числе точек, то $f\in R[a,b]$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\tilde{f}(x)dx$.

Другие важные классы интегрируемых функций:

• Монотонные функции: Если $f$ монотонна на $[a,b]$, то $f\in R[a,b]$.
• Функции с конечным числом точек разрыва: Если $f$ ограничена на $[a,b]$ и имеет конечное число точек разрыва, то $f\in R[a,b]$. (КНФ - частный случай).

Определенный интеграл. Арифметические свойства интегрируемых функций.

Интеграл

Пусть $f,g\in R[a,b]$ (т.е. $f$ и $g$ интегрируемы по Риману на $[a,b]$). Из необходимого условия интегрируемости следует, что $f$ и $g$ ограничены на $[a,b]$.

Теорема: 1. Линейность: Для любых $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$, функция $(\alpha f+\beta g)$ интегрируема на $[a,b]$, и

   :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

2. Произведение: Функция $(f\cdot g)$ интегрируема на $[a,b]$ ($f\cdot g\in R[a,b]$).

   (Важно: В общем случае $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx\ne \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.)

3. Модуль: Функция $|f|$ интегрируема на $[a,b]$ ($|f|\in R[a,b]$). 4. Частное: Если $\mathrm{\exists }C>0$ такое, что $|g(x)|\ge C$ для всех $x\in [a,b]$, то функция $\frac{f}{g}$ интегрируема на $[a,b]$.

   (Достаточно доказать для $\frac{1}{g}$, тогда $\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}$ будет интегрируема по п.2.)

Доказательства (идеи, использующие критерий Дарбу в терминах колебаний): Напомним критерий: $h\in R[a,b]⟺\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\omega (h,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=0$. По условию, $\sum \omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0$ и $\sum \omega (g,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0$ при $\lambda (\tau )\to 0$.

1. Линейность:

   Используем свойство колебания: $\omega (\alpha f+\beta g,E)\le |\alpha |\omega (f,E)+|\beta |\omega (g,E)$.
   Тогда $\sum \omega (\alpha f+\beta g,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le |\alpha |\sum \omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i+|\beta |\sum \omega (g,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$.
   Правая часть стремится к $|\alpha |\cdot 0+|\beta |\cdot 0=0$ при $\lambda (\tau )\to 0$. Следовательно, левая часть тоже стремится к 0, и $(\alpha f+\beta g)\in R[a,b]$.
   Формула для интеграла получается из линейности интегральных сумм и линейности предела.

2. Произведение:

   Так как $f,g$ интегрируемы, они ограничены: $|f(x)|\le M_f,|g(x)|\le M_g$. Пусть $M=\max (M_f,M_g)$.
   Используем свойство колебания: $\omega (f\cdot g,E)\le M_f\omega (g,E)+M_g\omega (f,E)\le M(\omega (f,E)+\omega (g,E))$.
   Тогда $\sum \omega (fg,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le M(\sum \omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i+\sum \omega (g,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i)$.
   Правая часть стремится к $M(0+0)=0$ при $\lambda (\tau )\to 0$. Значит, $(f\cdot g)\in R[a,b]$.

3. Модуль:

   Используем свойство: $||f(x)|-|f(y)||\le |f(x)-f(y)|$. Взяв супремум, получаем $\omega (|f|,E)\le \omega (f,E)$.
   Тогда $\sum \omega (|f|,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le \sum \omega (f,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$.
   Правая часть стремится к $0$ при $\lambda (\tau )\to 0$. Значит, $|f|\in R[a,b]$.

4. Частное (для $1/g$):

   Пусть $|g(x)|\ge C>0$.
   Используем свойство: $|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(y)}|=\frac{|g(y)-g(x)|}{|g(x)g(y)|}\le \frac{\omega (g,E)}{C^2}$.
   Взяв супремум, получаем $\omega (\frac{1}{g},E)\le \frac{\omega (g,E)}{C^2}$.
   Тогда $\sum \omega (\frac{1}{g},{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le \frac{1}{C^2}\sum \omega (g,{\mathrm{\Delta }}_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$.
   Правая часть стремится к $\frac{1}{C^2}\cdot 0=0$ при $\lambda (\tau )\to 0$. Значит, $\frac{1}{g}\in R[a,b]$.
   Интегрируемость $\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}$ следует из п.2.

Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.

Определение: Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ ($f\in R[a,b]$). Интегралом с переменным верхним пределом называется функция $\mathrm{\Phi }:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$, определенная как:

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

Теорема 1 (О непрерывности интеграла с переменным верхним пределом): Если $f\in R[a,b]$, то функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ непрерывна на $[a,b]$ ($\mathrm{\Phi }\in C[a,b]$).

Доказательство (идея): 1. Рассмотрим приращение $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(x_0+\mathrm{\Delta }x)-\mathrm{\Phi }(x_0)$ для $x_0\in [a,b]$. 2. По свойству аддитивности: $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\underset{a}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\underset{a}{\overset{x_0}{\int }}f(t)dt=\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt$. 3. Так как $f\in R[a,b]$, она ограничена: $\mathrm{\exists }M>0:|f(t)|\le M$ для $t\in [a,b]$. 4. Оценим $|\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }|$:

   :$|\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }|=|\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt|\le |\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}|f(t)|dt|\le \left|\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}Mdt\right|=M|\mathrm{\Delta }x|$.

5. Так как $M|\mathrm{\Delta }x|\to 0$ при $\mathrm{\Delta }x\to 0$, то по теореме о двух милиционерах $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$. 6. Это означает непрерывность $\mathrm{\Phi }(x)$ в точке $x_0$. Так как $x_0$ произвольна, $\mathrm{\Phi }(x)$ непрерывна на $[a,b]$.

Теорема 2 (О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом): Пусть $f\in R[a,b]$. Если функция $f$ непрерывна в точке $x_0\in [a,b]$, то функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ дифференцируема в точке $x_0$, и

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Доказательство (идея): 1. Рассмотрим предел отношения приращений: $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Phi }(x_0+\mathrm{\Delta }x)-\mathrm{\Phi }(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt$. 2. Нужно показать, что этот предел равен $f(x_0)$. Рассмотрим разность:

   :$|\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-f(x_0)|=|\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(x_0)dt|$
   :$=|\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}(f(t)-f(x_0))dt|\le \frac{1}{|\mathrm{\Delta }x|}|\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}|f(t)-f(x_0)|dt|$.

3. Так как $f$ непрерывна в $x_0$: $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0$ такое, что если $|t-x_0|<\delta$, то $|f(t)-f(x_0)|<ϵ$. 4. Выберем $|\mathrm{\Delta }x|<\delta$. Тогда для всех $t$ между $x_0$ и $x_0+\mathrm{\Delta }x$ выполнено $|t-x_0|<\delta$, и значит $|f(t)-f(x_0)|<ϵ$. 5. Оценим интеграл:

   :$|\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}|f(t)-f(x_0)|dt|\le \left|\underset{x_0}{\overset{x_0+\mathrm{\Delta }x}{\int }}ϵdt\right|=ϵ|\mathrm{\Delta }x|$.

6. Подставляем в неравенство из п.2:

   :$|\frac{\mathrm{\Phi }(x_0+\mathrm{\Delta }x)-\mathrm{\Phi }(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}-f(x_0)|\le \frac{1}{|\mathrm{\Delta }x|}(ϵ|\mathrm{\Delta }x|)=ϵ$.

7. По определению предела, это означает $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }x}=f(x_0)$, т.е. ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Следствие 1 (Существование первообразной): Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ ($f\in C[a,b]$), то функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ является первообразной для $f$ на $[a,b]$. (Это следует из Теоремы 2, так как если f непрерывна всюду на [a,b], то Ф'(x) = f(x) всюду на [a,b]).

Следствие 2 (Связь первообразных): Если $f\in C[a,b]$, то любая первообразная $F(x)$ для $f(x)$ на $[a,b]$ представима в виде:

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+C$, где $C$ — некоторая константа.

(Следует из того, что две первообразные одной функции на отрезке отличаются на константу).

Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона - Лейбница.

Определение (Интеграл с переменным верхним пределом): Пусть $f\in R[a,b]$. Функция $\mathrm{\Phi }:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$ определена как:

$\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

Теорема (О дифференцируемости $\mathrm{\Phi }(x)$): Пусть $f\in R[a,b]$. Если $f$ непрерывна в точке $x_0\in [a,b]$, то $\mathrm{\Phi }(x)$ дифференцируема в $x_0$ и ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Следствие (Существование первообразной у непрерывной функции): Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ ($f\in C[a,b]$), то функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ является первообразной для $f$ на $[a,b]$. Доказательство: Поскольку $f$ непрерывна в каждой точке $x\in [a,b]$, по предыдущей теореме функция $\mathrm{\Phi }(x)$ дифференцируема в каждой точке $x\in [a,b]$, и ее производная ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=f(x)$. Это точно соответствует определению первообразной. Вывод: Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную (конкретно, $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ является одной из них).

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 1 (Формула Ньютона-Лейбница для непрерывных функций): Пусть $f\in C[a,b]$, и $F(x)$ — любая первообразная для $f(x)$ на $[a,b]$ (т.е. $F^{\prime }(x)=f(x)$ для $x\in [a,b]$). Тогда

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Обозначение: $F(b)-F(a)={F(x)|}_a^b$.

Доказательство: 1. Поскольку $f\in C[a,b]$, функция $\mathrm{\Phi }(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ является одной из первообразных для $f(x)$ на $[a,b]$. 2. Любая другая первообразная $F(x)$ для $f(x)$ на $[a,b]$ связана с $\mathrm{\Phi }(x)$ соотношением $F(x)=\mathrm{\Phi }(x)+C$ для некоторой константы $C$. 3. Найдем $C$, подставив $x=a$:

   $F(a)=\mathrm{\Phi }(a)+C=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)dt+C=0+C⟹C=F(a)$.

4. Значит, $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt+F(a)$. 5. Подставим $x=b$ в это равенство:

   $F(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt+F(a)$.

6. Выражаем интеграл:

   $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=F(b)-F(a)$.

Теорема 2 (Обобщенная формула Ньютона-Лейбница): Пусть: 1. Функция $f$ интегрируема по Риману на $[a,b]$ ($f\in R[a,b]$). 2. Функция $F(x)$ непрерывна на $[a,b]$. 3. $F^{\prime }(x)=f(x)$ для всех $x\in [a,b]$, за исключением, возможно, конечного числа точек. Тогда

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Доказательство (идея): 1. Рассмотрим разбиение $\tau =\{x_0,\dots ,x_n\}$ отрезка $[a,b]$. 2. $F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))$. 3. По теореме Лагранжа о среднем значении (которая применима на каждом $[x_{i-1},x_i]$, так как $F$ непрерывна и дифференцируема почти всюду), $\mathrm{\exists }{\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$ такая, что $F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$. (Строгое обоснование требует аккуратности из-за точек недифференцируемости $F$). 4. Тогда $F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i={\sigma }_{\tau }(f,\xi )$. 5. Так как $f\in R[a,b]$, предел интегральных сумм ${\sigma }_{\tau }(f,\xi )$ при $\lambda (\tau )\to 0$ существует и равен $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$. 6. Поскольку левая часть $F(b)-F(a)$ не зависит от разбиения $\tau$, получаем $F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Свойства определённого интеграла от чётной, нечётной и периодической функций.

Теорема: Пусть: 1. Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке с концами $a$ и $b$. 2. Функция $x=\phi (t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[\alpha ,\beta ]$ ($\phi \in C^1[\alpha ,\beta ]$). 3. Значения $\phi (t)$ при $t\in [\alpha ,\beta ]$ принадлежат отрезку с концами $a$ и $b$. 4. $\phi (\alpha )=a$ и $\phi (\beta )=b$.

Тогда:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$

Доказательство (идея): Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Рассмотрим функцию $G(t)=F(\phi (t))$. Ее производная $G^{\prime }(t)=F^{\prime }(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)=f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$. Функция $G(t)$ является первообразной для $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$. По формуле Ньютона-Лейбница для правой части: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=G(\beta )-G(\alpha )=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))=F(b)-F(a)$. Обе части равны $F(b)-F(a)$.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема: Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ непрерывно дифференцируемы на $[a,b]$ (т.е. $u,v\in C^1[a,b]$). Тогда:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx={[u(x)v(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(x)u^{\prime }(x)dx$

или в дифференциальной форме:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv={uv|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

где ${uv|}_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$.

Доказательство (идея): Интегрируем тождество $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ на $[a,b]$: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(uv{)}^{\prime }dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }vdx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}u{v}^{\prime }dx$. Левая часть по формуле Ньютона-Лейбница равна ${uv|}_a^b$. ${uv|}_a^b=\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu+\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv$. Перенося $\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$, получаем формулу.

Интегрирование четных, нечетных и периодических функций

Теорема (Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку): Если $f\in R[-a,a]$ и $f$ — нечетная функция ($f(-x)=-f(x)$ для $x\in [-a,a]$), то:

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$

(Док-во: Разбиваем на $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}+\underset{0}{\overset{a}{\int }}$. В первом делаем замену $x=-t$.)

Теорема (Интеграл от четной функции по симметричному промежутку): Если $f\in R[-a,a]$ и $f$ — четная функция ($f(-x)=f(x)$ для $x\in [-a,a]$), то:

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

(Док-во: Аналогично нечетному случаю, замена $x=-t$ в $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}$ приводит к $\underset{0}{\overset{a}{\int }}$.)

Теорема (Интеграл от периодической функции по промежутку длиной в период): Если $f\in R_{loc}(\mathbb{ℝ})$ (локально интегрируема) и $f$ — периодическая с периодом $T$ ($f(x+T)=f(x)$), то для любого $a\in \mathbb{ℝ}$:

$\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(x)dx$

(Док-во: Разбиваем $\underset{a}{\overset{a+T}{\int }}=\underset{a}{\overset{0}{\int }}+\underset{0}{\overset{T}{\int }}+\underset{T}{\overset{a+T}{\int }}$. В последнем интеграле делаем замену $x=t+T$.)

Приложение определённых интегралов к вычислению площадей плоских фигур. Понятие, свойства и вычисление площади плоской фигуры.

Определение (Площадь): Пусть ${𝒰}$ — класс "квадрируемых" подмножеств ${\mathbb{ℝ}}^2$. Функция $S:{𝒰}\to \mathbb{ℝ}$ называется площадью, если она удовлетворяет аксиомам: 1. Неотрицательность: $S(A)\ge 0$ для $A\in {𝒰}$. 2. Аддитивность: Если $A,B\in {𝒰}$ и $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ (или имеют пересечение нулевой площади, например, по границе), то $A\cup B\in {𝒰}$ и $S(A\cup B)=S(A)+S(B)$. 3. Нормировка: Площадь единичного квадрата $[0,1]\times [0,1]$ равна 1. (Из этого следует, что площадь прямоугольника со сторонами $a,b$ равна $ab$). 4. Инвариантность относительно движений: Если $A\in {𝒰}$ и $V$ — движение (параллельный перенос, поворот), то $V(A)\in {𝒰}$ и $S(V(A))=S(A)$.

Свойства площади (вытекающие из аксиом):

• Монотонность: Если $A,B\in {𝒰}$ и $A\subseteq B$, то $S(A)\le S(B)$.
• Площадь множеств нулевой "толщины": Площадь отрезка, точки или любой конечной кривой равна 0.

Вычисление площади с помощью определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции Определение (Подграфик / Криволинейная трапеция): Пусть $f:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$, $f(x)\ge 0$. Множество

$G_f=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$

называется подграфиком функции $f$ (или криволинейной трапецией).

Теорема (Площадь подграфика): Если $f\in R[a,b]$ и $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$, и подграфик $G_f$ квадрируем, то его площадь равна:

$S(G_f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Идея доказательства: Для любого разбиения $\tau$, площадь $S(G_f)$ заключена между площадями вписанной и описанной ступенчатых фигур, которые равны нижней $s_{\tau }(f)$ и верхней $S_{\tau }(f)$ суммам Дарбу.

$s_{\tau }(f)\le S(G_f)\le S_{\tau }(f)$

Поскольку $f\in R[a,b]$, $\underset{\tau }{\sup }{s}_{\tau }(f)=\underset{\tau }{\inf }{S}_{\tau }(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$. Следовательно, $S(G_f)$ должна быть равна интегралу.

2. Площадь фигуры между двумя графиками Определение: Пусть $f,g\in R[a,b]$ и $f(x)\le g(x)$ на $[a,b]$. Фигура, заключенная между графиками:

$G_{f,g}=\{(x,y)\in {\mathbb{ℝ}}^2:a\le x\le b,f(x)\le y\le g(x)\}$

Теорема (Площадь фигуры между графиками): Если $G_{f,g}$ квадрируема, то ее площадь равна:

$S(G_{f,g})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(g(x)-f(x))dx$

Идея доказательства: Сдвинуть фигуру вверх на константу $C$ так, чтобы обе функции стали неотрицательными ($f_1=f+C,g_1=g+C$). Площадь не изменится из-за инвариантности. Тогда $S(G_{f,g})=S(G_{g_1})-S(G_{f_1})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_1(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(g(x)+C-(f(x)+C))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(g(x)-f(x))dx$.

3. Площадь в полярных координатах Определение (Криволинейный сектор): Пусть $r=f(\phi )$, где $f:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{ℝ}$, $f(\phi )\ge 0$, $0<\beta -\alpha \le 2\pi$. Множество точек

${\tilde{G}}_f=\{(r\cos \phi ,r\sin \phi )\in {\mathbb{ℝ}}^2:\alpha \le \phi \le \beta ,0\le r\le f(\phi )\}$

называется криволинейным сектором.

Теорема (Площадь криволинейного сектора): Если $f\in R[\alpha ,\beta ]$ и сектор ${\tilde{G}}_f$ квадрируем, то его площадь равна:

$S({\tilde{G}}_f)=\frac{1}{2}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{f}^2(\phi )d\phi$

Идея доказательства: Площадь малого сектора с углом $\mathrm{\Delta }{\phi }_i$ и радиусом $f({\phi }_i)$ приближенно равна $\frac{1}{2}[f({\phi }_i){]}^2\mathrm{\Delta }{\phi }_i$. Суммирование таких площадей приводит к интегральной сумме для $\frac{1}{2}{f}^2(\phi )$. Более строго — через суммы Дарбу для функции $\frac{1}{2}{f}^2(\phi )$, используя площадь кругового сектора.

Приложение определённых интегралов к вычислению объемов тел. Понятие, свойства и вычисление объёма тела.

Определение (Объём): Пусть ${𝒰}$ — класс "кубируемых" подмножеств (тел) в ${\mathbb{ℝ}}^3$. Функция $V:{𝒰}\to \mathbb{ℝ}$ называется объёмом, если она удовлетворяет аксиомам: 1. Неотрицательность: $V(T)\ge 0$ для $T\in {𝒰}$. 2. Аддитивность: Если $T_1,T_2\in {𝒰}$ и $T_1\cap T_2=\mathrm{\varnothing }$ (или имеют пересечение нулевого объёма), то $T_1\cup T_2\in {𝒰}$ и $V(T_1\cup T_2)=V(T_1)+V(T_2)$. 3. Нормировка: Объём единичного куба $[0,1{]}^3$ равен 1. (Из этого следует, что объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a,b,c$ равен $abc$). 4. Инвариантность относительно движений: Если $T\in {𝒰}$ и $v$ — движение в ${\mathbb{ℝ}}^3$, то $v(T)\in {𝒰}$ и $V(v(T))=V(T)$.

Свойства объёма (вытекающие из аксиом):

• Монотонность: Если $T_1,T_2\in {𝒰}$ и $T_1\subseteq T_2$, то $V(T_1)\le V(T_2)$.
• Объём "плоских" множеств: Объём множества, лежащего в одной плоскости (например, прямоугольника), равен 0.

Вычисление объёма с помощью определенного интеграла

1. Метод сечений Определение (Сечение): Пусть $T$ — тело в ${\mathbb{ℝ}}^3$. Сечением тела $T$ плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке $x$, называется множество:

$T(x)=\{(y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^2:(x,y,z)\in T\}$.

Обозначим площадь этого сечения через $S(x)$ (если она существует).

Теорема (Объем тела через площади сечений): Пусть тело $T$ расположено между плоскостями $x=a$ и $x=b$ ($a<b$). Если для каждого $x\in [a,b]$ сечение $T(x)$ квадрируемо (имеет площадь $S(x)$), функция площади сечения $S(x)$ интегрируема на $[a,b]$ ($S(x)\in R[a,b]$), и объем $V(T)$ существует, то:

$V(T)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx$

Идея доказательства: Рассматриваем разбиение $\tau$ отрезка $[a,b]$. На малом отрезке ${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$ объем части тела $T_i$, соответствующей этому отрезку, приближенно равен объему цилиндра с основанием $S({\xi }_i)$ (где ${\xi }_i\in {\mathrm{\Delta }}_i$) и высотой $\mathrm{\Delta }{x}_i$, т.е. $S({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$. Сумма таких объемов $\sum S({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ является интегральной суммой для функции $S(x)$. В пределе при $\lambda (\tau )\to 0$ получаем интеграл. (Более строго — через суммы Дарбу для $S(x)$ и вписанные/описанные цилиндрические тела).

2. Объем тела вращения Определение (Тело вращения вокруг оси Ox): Пусть $f\in C[a,b]$ и $f(x)\ge 0$. Телом вращения графика $y=f(x)$ вокруг оси Ox называется множество:

$T_f=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:a\le x\le b,y^2+z^2\le f^2(x)\}$.

Теорема (Объем тела вращения): Объем тела вращения $T_f$ равен:

$V(T_f)=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$

Доказательство: Применяем метод сечений. Сечение тела $T_f$ плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке $x$, является кругом радиуса $R=f(x)$. Площадь этого сечения $S(x)=\pi R^2=\pi [f(x){]}^2$. Так как $f$ непрерывна, то и $f^2$ непрерывна, а значит $S(x)$ интегрируема. По теореме об объеме через сечения:

$V(T_f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi f^2(x)dx=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$.

Приложение определённых интегралов к вычислению длин дуг кривых. Понятия пути, гладкости пути, эквивалентности путей, кривой, гладкости кривой, ломаной, вписанной в путь, длины пути, длины кривой, спрямляемости пути. Свойства эквивалентных путей. Вычисление длины вписанной ломаной. Свойство аддитивности длины пути.

Определение (Путь): Путь (или параметризованная кривая) в ${\mathbb{ℝ}}^n$ — это непрерывное отображение $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$, где $[a,b]$ — отрезок.

• Координатное представление: $\gamma (t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$, где $x_i(t)$ — непрерывные функции.
• $\gamma (a)$ — начало пути, $\gamma (b)$ — конец пути.
• Путь замкнут, если $\gamma (a)=\gamma (b)$.
• Носитель пути: $\gamma ([a,b])=\{\gamma (t):t\in [a,b]\}$.

Определение (Гладкость пути):

• Путь $\gamma$ называется $C^m$-гладким ($m\ge 1$), если $\mathrm{\forall }i:x_i(t)\in C^m[a,b]$.
• Путь гладкий, если он $C^1$-гладкий.
• Путь кусочно-гладкий, если существует разбиение $a=t_0<\dots <t_k=b$, такое что $\gamma$ гладкий на каждом $[t_{j-1},t_j]$.
• (Иногда дополнительно требуют ${\gamma }^{\prime }(t)=(x{\text{'}}_1(t),\dots ,x{\text{'}}_n(t))\ne \overrightarrow{0}$ для гладкого пути).

Определение (Эквивалентные пути): Пути $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ и $\tilde{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ называются эквивалентными ($\gamma \sim \tilde{\gamma }$), если существует строго возрастающая непрерывная биекция (замена параметра) $\omega :[a,b]\to [\alpha ,\beta ]$ такая, что $\gamma (t)=\tilde{\gamma }(\omega (t))$. (Отношение $\sim$ является отношением эквивалентности).

Определение (Кривая): Кривая $\{\gamma \}$ — это класс эквивалентности путей $\{\tilde{\gamma }:\tilde{\gamma }\sim \gamma \}$. Любой путь $\gamma$ из этого класса называется параметризацией кривой.

Определение (Гладкость кривой): Кривая $\{\gamma \}$ называется гладкой (кусочно-гладкой), если существует хотя бы одна гладкая (кусочно-гладкая) параметризация $\gamma \in \{\gamma \}$.

Длина пути и кривой

Определение (Ломаная, вписанная в путь): Пусть $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — путь и $\tau :a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$ — разбиение отрезка $[a,b]$. Ломаной, вписанной в путь $\gamma$ и соответствующей разбиению $\tau$, называется объединение отрезков $[\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_i)]$ для $i=1,\dots ,n$. Обозначение: $L_{\tau }$.

Длина вписанной ломаной: Длина ломаной $L_{\tau }$ — это сумма длин ее сегментов:

$|L_{\tau }|=\sum _{i=1}^n|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})|$,

где $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{\sum _{k=1}^n{v}_k^2}$ — евклидова длина вектора в ${\mathbb{ℝ}}^n$.

$|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})|=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k(t_i)-x_k(t_{i-1}){)}^2}$.

Определение (Длина пути): Длина пути $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — это точная верхняя грань длин всех вписанных ломаных:

$l_{\gamma }=\underset{\tau }{\sup }|L_{\tau }|$,

где супремум берется по всем возможным разбиениям $\tau$ отрезка $[a,b]$.

Определение (Спрямляемый путь): Путь $\gamma$ называется спрямляемым, если его длина конечна: $l_{\gamma }<+\mathrm{\infty }$.

Свойство эквивалентных путей: Если пути $\gamma$ и $\tilde{\gamma }$ эквивалентны ($\gamma \sim \tilde{\gamma }$), то их длины равны: $l_{\gamma }=l_{\tilde{\gamma }}$. (Идея: Каждому разбиению $\tau$ для $\gamma$ соответствует разбиение $\tilde{\tau }=\omega (\tau )$ для $\tilde{\gamma }$, и $|L_{\tau }|=|L_{\tilde{\tau }}|$. Множества длин ломаных совпадают, значит и их супремумы равны.)

Определение (Длина кривой): Длина кривой $\{\gamma \}$ — это длина $l_{\gamma }$ любой ее параметризации $\gamma \in \{\gamma \}$. Обозначение: $l_{\{\gamma \}}$.

Свойство аддитивности длины пути: Пусть $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — путь, $c\in (a,b)$, ${\gamma }^{*}=\gamma {|}_{[a,c]}$, $\tilde{\gamma }=\gamma {|}_{[c,b]}$. Путь $\gamma$ спрямляем $⟺$ пути ${\gamma }^{*}$ и $\tilde{\gamma }$ спрямляемы. В этом случае:

$l_{\gamma }=l_{{\gamma }^{*}}+l_{\tilde{\gamma }}$.

(Идея: $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$. Любое разбиение $[a,b]$ можно дополнить точкой $c$, не уменьшая длину ломаной.)

Вычисление длины пути (связь с интегралом)

Теорема (Вычисление длины гладкого пути): Если путь $\gamma (t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$ является гладким ($\gamma \in C^1[a,b]$), то он спрямляем, и его длина вычисляется по формуле:

$l_{\gamma }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{(x{\text{'}}_1(t){)}^2+\dots +(x{\text{'}}_n(t){)}^2}dt$

Частные случаи:

• Длина графика функции: $y=f(x)$, $f\in C^1[a,b]$. Параметризация $\gamma (x)=(x,f(x))$.

   :$l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

• Длина кривой в полярных координатах: $r=f(\phi )$, $f\in C^1[\alpha ,\beta ]$. Параметризация $\gamma (\phi )=(f(\phi )\cos \phi ,f(\phi )\sin \phi )$.

   :$l=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{(f(\phi ){)}^2+(f^{\prime }(\phi ){)}^2}d\phi$

Приложение определённых интегралов к вычислению длин дуг кривых. Понятия пути, гладкости пути, эквивалентности путей, кривой, гладкости кривой, ломаной, вписанной в путь, длины пути, длины кривой, спрямляемости пути. Достаточное условие спрямляемости пути. Свойство непрерывной дифференцируемости длины части пути. Вычисление длины пути.

Определение (Путь): Путь (или параметризованная кривая) в ${\mathbb{ℝ}}^n$ — это непрерывное отображение $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$, где $[a,b]$ — отрезок.

• Координатное представление: $\gamma (t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$, где $x_i(t)$ — непрерывные функции.

Определение (Гладкость пути):

• Путь $\gamma$ называется $C^m$-гладким ($m\ge 1$), если $\mathrm{\forall }i:x_i(t)\in C^m[a,b]$.
• Путь гладкий, если он $C^1$-гладкий.
• Путь кусочно-гладкий, если он непрерывен и состоит из конечного числа гладких кусков.

Определение (Эквивалентные пути): Пути $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ и $\tilde{\gamma }:[\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ называются эквивалентными ($\gamma \sim \tilde{\gamma }$), если существует строго возрастающая непрерывная биекция (замена параметра) $\omega :[a,b]\to [\alpha ,\beta ]$ такая, что $\gamma (t)=\tilde{\gamma }(\omega (t))$.

Определение (Кривая): Кривая $\{\gamma \}$ — это класс эквивалентности путей $\{\tilde{\gamma }:\tilde{\gamma }\sim \gamma \}$. Любой путь $\gamma$ из этого класса называется параметризацией кривой.

Определение (Гладкость кривой): Кривая $\{\gamma \}$ называется гладкой (кусочно-гладкой), если существует хотя бы одна гладкая (кусочно-гладкая) параметризация $\gamma \in \{\gamma \}$.

Длина пути и кривой

Определение (Ломаная, вписанная в путь): Пусть $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — путь и $\tau :a=t_0<t_1<\dots <t_n=b$ — разбиение отрезка $[a,b]$. Ломаной, вписанной в путь $\gamma$, называется объединение отрезков $[\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_i)]$, $i=1,\dots ,n$. Обозначение: $L_{\tau }$. Её длина: $|L_{\tau }|=\sum _{i=1}^n|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})|$.

Определение (Длина пути): Длина пути $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — это точная верхняя грань длин всех вписанных ломаных:

$l_{\gamma }=\underset{\tau }{\sup }|L_{\tau }|$.

Определение (Спрямляемый путь): Путь $\gamma$ называется спрямляемым, если его длина конечна: $l_{\gamma }<+\mathrm{\infty }$. Длина кривой - это длина любой её спрямляемой параметризации.

Теорема (Достаточное условие спрямляемости): Если путь $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ является гладким (т.е. $\gamma \in C^1[a,b]$), то он спрямляем. Идея доказательства: Используя теорему Лагранжа о среднем значении для каждой компоненты $x_k(t)$, показываем, что длина любой вписанной ломаной $|L_{\tau }|$ ограничена сверху величиной, зависящей от максимумов модулей производных $|x{\text{'}}_k(t)|$ и длины отрезка $(b-a)$. Следовательно, $\sup |L_{\tau }|$ конечен.

Длина части пути (Функция длины дуги)

Определение (Функция длины дуги): Пусть $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — спрямляемый путь. Функция $s:[a,b]\to \mathbb{ℝ}$, определенная как

$s(t)=l_{\gamma {|}_{[a,t]}}$

(т.е. длина участка пути от $\gamma (a)$ до $\gamma (t)$), называется функцией длины дуги пути $\gamma$.

Теорема (Свойство функции длины дуги): Пусть $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ — гладкий путь ($\gamma \in C^1[a,b]$). Тогда функция длины дуги $s(t)$ непрерывно дифференцируема на $[a,b]$ ($s(t)\in C^1[a,b]$) и её производная равна модулю вектора скорости:

$s^{\prime }(t)=|{\gamma }^{\prime }(t)|=\sqrt{(x{\text{'}}_1(t){)}^2+\dots +(x{\text{'}}_n(t){)}^2}$.

Идея доказательства: Оцениваем приращение $\mathrm{\Delta }s=s(t_0+\mathrm{\Delta }t)-s(t_0)$ через $|\gamma (t_0+\mathrm{\Delta }t)-\gamma (t_0)|$, применяем теорему Лагранжа и непрерывность производных $x{\text{'}}_k(t)$, чтобы показать, что $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=|{\gamma }^{\prime }(t_0)|$. Непрерывность $s^{\prime }(t)$ следует из непрерывности ${\gamma }^{\prime }(t)$.

Вычисление длины пути

Теорема (Формула для вычисления длины пути): Если путь $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{ℝ}}^n$ является гладким ($\gamma \in C^1[a,b]$), то его длина равна:

$l_{\gamma }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{(x{\text{'}}_1(t){)}^2+\dots +(x{\text{'}}_n(t){)}^2}dt$

Доказательство: Функция длины дуги $s(t)$ является первообразной для $|{\gamma }^{\prime }(t)|$ (по предыдущей теореме). По формуле Ньютона-Лейбница:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{s}^{\prime }(t)dt=s(b)-s(a)$.

По определению $s(t)$, имеем $s(b)=l_{\gamma {|}_{[a,b]}}=l_{\gamma }$ и $s(a)=l_{\gamma {|}_{[a,a]}}=0$. Следовательно, $l_{\gamma }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$.

Частные случаи:

• Длина графика функции: $y=f(x)$, $f\in C^1[a,b]$.

   :$l=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

• Длина кривой в полярных координатах: $r=f(\phi )$, $f\in C^1[\alpha ,\beta ]$.

   :$l=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\sqrt{(f(\phi ){)}^2+(f^{\prime }(\phi ){)}^2}d\phi$

Несобственные интегралы: основные понятия, свойства линейности, монотонности, аддитивности по промежутку. Критерий сходимости несобственного интеграла в терминах остатка.

Определение (Локально интегрируемая функция): Функция $f$ называется локально интегрируемой на промежутке $I$ (обозначение $f\in R_{loc}(I)$), если $f$ интегрируема по Риману на любом отрезке $[c,d]\subset I$.

Определение (Несобственный интеграл): Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$, где $-\mathrm{\infty }<a<b\le +\mathrm{\infty }$. Несобственным интегралом от $f$ по $[a,b)$ называется предел:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\omega \to b-0}{\lim }\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}f(x)dx$

Аналогично, для $f\in R_{loc}(a,b]$, где $-\mathrm{\infty }\le a<b<+\mathrm{\infty }$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\omega \to a+0}{\lim }\underset{\omega }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

• Если предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся.
• В противном случае (предел не существует или равен $\pm \mathrm{\infty }$), интеграл называется расходящимся.

Замечания: 1. Если $b=+\mathrm{\infty }$ (или $a=-\mathrm{\infty }$), интеграл называют несобственным интегралом I рода (по бесконечному промежутку). 2. Если $b\in \mathbb{ℝ}$ и $f$ не ограничена в окрестности точки $b$ (аналогично для $a$), интеграл называют несобственным интегралом II рода (от неограниченной функции). 3. Если особенность (бесконечный предел или неограниченность функции) находится внутри $(a,b)$ в точке $c$, то:

   :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
   Интеграл слева сходится тогда и только тогда, когда оба интеграла справа сходятся.

Свойства несобственных интегралов (Формулируются для сходящихся интегралов)

• Линейность: Если $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$ сходятся, то для $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx$ сходится и:

   :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

• Монотонность: Если $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$ сходятся и $f(x)\le g(x)$ для $x\in [a,b)$, то:

   :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

• Аддитивность по промежутку: Пусть $a<c<b$. Несобственный интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ (с особенностью в $b$) сходится $⟺$ несобственный интеграл $\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ сходится. В этом случае:

   :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
   (Здесь $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$ — собственный интеграл Римана). Аналогично для особенности в точке $a$.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла (Эквивалентен утверждению о сходимости "остатка" к нулю)

Пусть $f\in R_{loc}[a,b)$, где $b$ — точка особенности ($b\in \mathbb{ℝ}$ или $b=+\mathrm{\infty }$). Несобственный интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ сходится тогда и только тогда, когда

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }M\in [a,b)\text{такое, что для любых }{\omega }_1,{\omega }_2\text{ с }M\le {\omega }_1<{\omega }_2<b\text{выполняется}$

$|\underset{{\omega }_1}{\overset{{\omega }_2}{\int }}f(x)dx|<ϵ$

Формулировка в терминах остатка: Интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ сходится $⟺$ остаток интеграла $R(\omega )=\underset{\omega }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ стремится к нулю при $\omega \to b-0$:

$\underset{\omega \to b-0}{\lim }\underset{\omega }{\overset{b}{\int }}f(x)dx=0$

(Примечание: Это прямо следует из определения сходимости $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f=\underset{\omega \to b-0}{\lim }\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}f$, если $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$, то $\underset{\omega }{\overset{b}{\int }}f=I-\underset{a}{\overset{\omega }{\int }}f$.) Критерий Коши показывает, что сходимость равносильна малости интеграла по "хвосту" промежутка интегрирования.