МатАнПрод:Метод интегрирования по частям

Теорема 1. Если функции $u(x),v(x)$ непрерывно дифференцируемы на интервале $(a,b)$ и существует первообразная от $v(x)$ и $v^{\prime }(x)$, то применимы формулы интегрирования по частям. >*(В оригинале: $u(x),v(x)\in D((a,b))$ - “дифференцируемы на (a,b)” и “$\mathrm{\exists }$ первообразная от $v(x)$ и $u^{\prime }(x)$ на $(a,b)$” 2. Формулы: $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int v{u}^{\prime }dx$ или $\int udv=uv-\int vdu$ - формула интегрирования по частям

Вывод формулы: Из правила дифференцирования произведения: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ Интегрируем обе части: $\int (uv{)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx$ $uv=\int vdu+\int udv$ Отсюда получаем: $\int udv=uv-\int vdu$

Примеры:

1. $\int \frac{dx}{x+1}=\int \frac{d(x+1)}{x+1}$ Пусть $t=x+1$, тогда $dt=d(x+1)$. $\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+C=\ln |x+1|+C$
2. $\int (2x+1{)}^{24}dx$ Пусть $t=2x+1$, тогда $dt=2dx$, т.е. $dx=\frac{1}{2}dt$. $\int (2x+1{)}^{24}dx=\frac{1}{2}\int (2x+1{)}^{24}d(2x+1)=\frac{1}{2}\int t^{24}dt=\frac{1}{2}\frac{t^{25}}{25}+C=\frac{(2x+1{)}^{25}}{50}+C$
3. $\int {\tan }^{2}xdx=\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx=\int (\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1)dx=\tan x-x+C$
4. $\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$ Пусть $t=\cos x$, тогда $dt=-\sin xdx$. $\int \frac{-dt}{t}=-\ln |t|+C=-\ln |\cos x|+C$. Или: $\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C$
5. $\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{\sin x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx$ Пусть $t=\cos x$, тогда $dt=-\sin xdx$. $\int \frac{-dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt=\frac{1}{2}(\ln |t-1|-\ln |t+1|)+C$ $=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+C=-\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right|+C$
6. $\int x(x+1{)}^{24}dx$ Пусть $t=x+1$, тогда $x=t-1$, $dx=dt$. $\int (t-1)t^{24}dt=\int (t^{25}-t^{24})dt=\frac{t^{26}}{26}-\frac{t^{25}}{25}+C=\frac{(x+1{)}^{26}}{26}-\frac{(x+1{)}^{25}}{25}+C$
7. $\int \frac{dx}{{\tan }^{5}x{\cos }^{2}x}$ Пусть $t=\tan x$, тогда $dt=\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$. $\int \frac{d(\tan x)}{{\tan }^{5}x}=-\frac{1}{4{\tan }^{4}x}+C$
8. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ (Табличный интеграл, “высокий логарифм”) Используем подстановку Эйлера: $t=x+\sqrt{x^2\pm a^2}$ $dt=(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2\pm a^2}})dx=(1+\frac{x}{\sqrt{x^2\pm a^2}})dx=\frac{\sqrt{x^2\pm a^2}+x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\frac{t}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx$ Отсюда $\frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+C=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
9. $I=\int \sqrt{x^2+\alpha }dx$ Применим интегрирование по частям: $u=\sqrt{x^2+\alpha }⟹du=\frac{x}{\sqrt{x^2+\alpha }}dx$ $dv=dx⟹v=x$ $I=uv-\int vdu=x\sqrt{x^2+\alpha }-\int x\frac{x}{\sqrt{x^2+\alpha }}dx=x\sqrt{x^2+\alpha }-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+\alpha }}dx$ Преобразуем подынтегральное выражение: $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+\alpha }}dx=\int \frac{(x^2+\alpha )-\alpha }{\sqrt{x^2+\alpha }}dx=\int (\frac{x^2+\alpha }{\sqrt{x^2+\alpha }}-\frac{\alpha }{\sqrt{x^2+\alpha }})dx$ $=\int \sqrt{x^2+\alpha }dx-\alpha \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+\alpha }}=I-\alpha \ln |x+\sqrt{x^2+\alpha }|$ Подставляем обратно в формулу интегрирования по частям: $I=x\sqrt{x^2+\alpha }-(I-\alpha \ln |x+\sqrt{x^2+\alpha }|)$ $I=x\sqrt{x^2+\alpha }-I+\alpha \ln |x+\sqrt{x^2+\alpha }|$ $2I=x\sqrt{x^2+\alpha }+\alpha \ln |x+\sqrt{x^2+\alpha }|$ $I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+\alpha }+\frac{\alpha }{2}\ln |x+\sqrt{x^2+\alpha }|+C$

Типы интегралов, берущихся по частям или сводящихся к табличным: 1. $\int P_n(x)e^{\alpha x}dx$ 2. $\int P_n(x)\sin (\alpha x)dx$, $\int P_n(x)\cos (\alpha x)dx$ 3. $\int \arctan (\alpha x)dx$, $\int \arcsin (\alpha x)dx$, etc. 4. $\int \ln (\alpha x)dx$ 5. $\int e^{\alpha x}\cos (\beta x)dx$, $\int e^{\alpha x}\sin (\beta x)dx$

Пример: $\int x\sin xdx$ Применим интегрирование по частям: $u=x⟹du=dx$ $dv=\sin xdx⟹v=-\cos x$ $\int x\sin xdx=x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$

Другой способ: $\int x\sin xdx=-\int xd(\cos x)$ $u=x,v=\cos x$ $=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$