МатАнПрод:ВопросыКлк2сем

Первообразная. Теорема о семействе первообразных функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Определение (Первообразная): Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, если $F(x)$ дифференцируема на $I$ и выполняется равенство:

$F^{\prime }(x)=f(x)$ для всех $x\in I$.

Теорема (О семействе первообразных): Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на том же интервале $I$ имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$,

где $C$ — произвольная постоянная ($C\in \mathbb{ℝ}$).

Определение (Неопределенный интеграл): Совокупность всех первообразных $F(x)+C$ для функции $f(x)$ на интервале $I$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается символом $\int f(x)dx$.

$\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

   $(\int f(x)dx)=(F(x)+C{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

   $d(\int f(x)dx)=(\int f(x)dx)dx=f(x)dx$

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

   $\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C$

4. Линейность: Если $\int f(x)dx$ и $\int g(x)dx$ существуют, то для любых констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ существует $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx$, и

   $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$

Таблица основных формул интегрирования:

• $\int 0dx=C$
• $\int 1dx=x+C$
• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ ($\alpha \ne -1$)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0,a\ne 1$)
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos \frac{x}{a}+C_1$ ($a>0$)
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\text{arccot}\frac{x}{a}+C_1$ ($a\ne 0$)
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ (длинный логарифм)
• $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
• $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
• $\int \frac{1}{{\cosh }^{2}x}dx=\tanh x+C$
• $\int \frac{1}{{\sinh }^{2}x}dx=-\coth x+C$

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Метод замены переменной (подстановки) в неопределенном интеграле

Пусть требуется вычислить $\int f(x)dx$.

Теорема (Формула замены переменной): Пусть функция $x=\phi (t)$ имеет непрерывную производную ${\phi }^{\prime }(t)$, и существует обратная функция $t={\phi }^{-1}(x)$. Пусть существует интеграл $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=G(t)+C$. Тогда существует $\int f(x)dx$ и выполняется равенство:

$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt{|}_{t={\phi }^{-1}(x)}=G({\phi }^{-1}(x))+C$

Идея метода: 1. Вводим новую переменную $t$ через подстановку $x=\phi (t)$ (или $t=\psi (x)$). 2. Находим дифференциал $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$. 3. Подставляем $x$ и $dx$ в исходный интеграл, выражая его через $t$: $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$. 4. Вычисляем полученный интеграл по переменной $t$. 5. Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя обратную замену $t={\phi }^{-1}(x)$.

Альтернативная форма (подстановка вида $t=\psi (x)$): Если $t=\psi (x)$, то $dt={\psi }^{\prime }(x)dx$. Если подынтегральное выражение можно представить как $g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx$, то:

$\int g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx=\int g(t)dt{|}_{t=\psi (x)}$

Метод интегрирования по частям

Теорема (Формула интегрирования по частям): Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют непрерывные производные $u^{\prime }(x)$ и $v^{\prime }(x)$ на некотором интервале. Тогда справедливо равенство:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$

или, в дифференциальной форме ($dv=v^{\prime }(x)dx$, $du=u^{\prime }(x)dx$):

$\int udv=uv-\int vdu$

Вывод формулы: Формула следует из правила дифференцирования произведения двух функций:

$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Интегрируя обе части по $x$, получаем:

$\int (u(x)v(x){)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

По определению неопределенного интеграла, $\int (uv{)}^{\prime }dx=uv+C$. Учитывая, что интеграл в правой части также вычисляется с точностью до константы, её можно опустить на этом шаге:

$uv=\int vdu+\int udv$

Перенося $\int vdu$ в другую часть равенства, получаем формулу интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

Идея метода: Представить подынтегральное выражение $f(x)dx$ в виде $udv$ так, чтобы интеграл $\int vdu$ был проще исходного или сводился к нему.

Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

Интегрирование рациональных функций

Определение (Рациональная функция): Рациональная функция (или дробь) — это функция вида $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$, где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ — многочлены степеней $n$ и $m$ соответственно.

Шаг 1: Выделение целой части (если дробь неправильная) Если $n=\mathrm{deg}(P_n)\ge m=\mathrm{deg}(Q_m)$ (дробь неправильная), то делим $P_n(x)$ на $Q_m(x)$ "уголком":

$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=M_{n-m}(x)+\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$,

где $M_{n-m}(x)$ — многочлен (целая часть), а $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ — правильная рациональная дробь ($k=\mathrm{deg}(N_k)<m$). Интегрирование сводится к:

$\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx=\int M_{n-m}(x)dx+\int \frac{N_k(x)}{Q_m(x)}dx$

Интеграл от многочлена $M_{n-m}(x)$ вычисляется просто. Основная задача — интегрирование правильной рациональной дроби.

Шаг 2: Разложение правильной рациональной дроби на простейшие Пусть дана правильная дробь $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ ($k<m$).

1. Факторизация знаменателя: Разложить знаменатель $Q_m(x)$ на неприводимые множители над $\mathbb{ℝ}$:

   :$Q_m(x)=c\cdot (x-x_1{)}^{k_1}\cdots (x-x_p{)}^{k_p}\cdot (x^2+p_{1}x+q_1{)}^{l_1}\cdots (x^2+p_{s}x+q_s{)}^{l_s}$
   где $x_i$ — действительные корни кратности $k_i$, $p_j^2-4q_j<0$, и $\sum k_i+2\sum l_j=m$. Константу $c$ можно вынести за знак интеграла.

2. Теорема о разложении: Любая правильная рациональная дробь $\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}$ (с $c=1$) может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших дробей:

   :$\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}=\sum _{i=1}^p\left(\sum _{r=1}^{k_i}\frac{A_{i,r}}{(x-x_i{)}^r}\right)+\sum _{j=1}^s\left(\sum _{t=1}^{l_j}\frac{B_{j,t}x+C_{j,t}}{(x^2+p_{j}x+q_j{)}^t}\right)$
   где $A_{i,r},B_{j,t},C_{j,t}\in \mathbb{ℝ}$ — неопределенные коэффициенты.

3. Нахождение коэффициентов: Коэффициенты $A,B,C$ находятся методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений (подстановкой удобных значений $x$, включая корни знаменателя).

Шаг 3: Интегрирование простейших дробей

• Тип I: $\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C$

• Тип II: ($k\ge 2$)

   :$\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=A\int (x-a{)}^{-k}d(x-a)=\frac{A}{(1-k)(x-a{)}^{k-1}}+C$

• Тип III: ($p^2-4q<0$)

   :$\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q}dx=\int \frac{\frac{B}{2}(2x+p)+(C-\frac{Bp}{2})}{x^2+px+q}dx$
   :$=\frac{B}{2}\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+(C-\frac{Bp}{2})\int \frac{dx}{(x+\frac{p}{2}{)}^2+(q-\frac{p^2}{4})}$
   :$=\frac{B}{2}\ln (x^2+px+q)+\frac{C-Bp/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\arctan \left(\frac{x+p/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\right)+C_1$ (знаменатель $x^2+px+q>0$)

• Тип IV: ($p^2-4q<0,l\ge 2$)

   :$\int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q{)}^l}dx=\int \frac{\frac{B}{2}(2x+p)+(C-\frac{Bp}{2})}{(x^2+px+q{)}^l}dx$
   :$=\frac{B}{2}\int (x^2+px+q{)}^{-l}d(x^2+px+q)+(C-\frac{Bp}{2})\int \frac{dx}{((x+\frac{p}{2}{)}^2+a^2{)}^l}$   (где $a^2=q-p^2/4$)
   :$=\frac{B}{2(1-l)(x^2+px+q{)}^{l-1}}+(C-\frac{Bp}{2})I_l$
   :Интеграл $I_l=\int \frac{dt}{(t^2+a^2{)}^l}$ (где $t=x+p/2$) вычисляется по рекуррентной формуле:
   :$I_l=\frac{1}{2a^2(l-1)}\frac{t}{(t^2+a^2{)}^{l-1}}+\frac{2l-3}{2a^2(l-1)}{I}_{l-1}$, сводящей его к $I_1=\frac{1}{a}\arctan (\frac{t}{a})$.

Вывод: Интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции: многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование иррациональных функций

Здесь $R(\cdot ,\cdot )$ обозначает рациональную функцию своих аргументов.

1. Интегралы вида $\int R(x,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_1},\dots ,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_n})dx$

• Условие: $r_1,\dots ,r_n\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ (рациональные), $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$, $ad-bc\ne 0$.
• Метод: Рационализация с помощью подстановки.

   1. Найти $h=\text{НОК}(\text{знаменатели }{r}_1,\dots ,r_n)$.
   2. Использовать подстановку: $t^h=\frac{ax+b}{cx+d}$.
   3. Выразить $x$ и $dx$ через $t$ рационально. Все дробные степени ${\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{r_i}$ станут целыми степенями $t$.
   4. Интеграл сводится к $\int R_1(t)dt$, где $R_1$ — рациональная функция.

2. Интегралы вида $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$

• Условие: $a,b,c\in \mathbb{ℝ}$, $a\ne 0$, $b^2-4ac\ne 0$.
• Методы:

   *   Подстановки Эйлера: Рационализируют подынтегральную функцию.
       1.  Если $a>0$: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t$.
       2.  Если $c>0$: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}$.
       3.  Если $a{x}^2+bx+c$ имеет действительные корни $x_1,x_2$ ($b^2-4ac>0$): $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t(x-x_1)$ (или $t(x-x_2)$).
       Все подстановки приводят к интегралу от рациональной функции $t$.
   *   Метод Остроградского (для частного случая): Для интеграла вида $\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ существует разложение:
       :$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=Q_{n-1}(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\lambda \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$
       где $Q_{n-1}(x)$ — многочлен степени $n-1$ с неопределенными коэффициентами, $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ — константа. Коэффициенты находятся дифференцированием и приравниванием коэффициентов. Оставшийся интеграл — табличный.
   *   Общий случай: Интеграл $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$ можно свести к сумме интеграла от рациональной функции и интеграла вида $\int \frac{P(x)}{Q(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$. Последний, в свою очередь, раскладывается на сумму интегралов вида:
       * $\int \frac{P(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ (берется методом Остроградского).
       * $\int \frac{dx}{(x-\alpha {)}^k\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ (сводится к предыдущему типу подстановкой $t=\frac{1}{x-\alpha }$).
       * $\int \frac{(Ax+B)dx}{(x^2+px+q{)}^k\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$ (сводится более сложными подстановками, например, Абеля или дробно-линейной).

3. Интегралы от дифференциального бинома $\int x^m(a{x}^n+b{)}^{p}dx$

• Условие: $m,n,p\in \mathbb{\mathbb{Q}}$; $a,b\in \mathbb{ℝ}$; $a,b,n,p\ne 0$.
• Теорема Чебышёва: Интеграл выражается через элементарные функции только в трех случаях:

   1.  $p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (p — целое).
       Подстановка: $x=t^q$, где $q=\text{НОК}(\text{знаменатель }m,\text{ знаменатель }n)$.
   2.  $\frac{m+1}{n}\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (целое).
       Подстановка: $a{x}^n+b=t^s$, где $s=\text{знаменатель }p$.
   3.  $\frac{m+1}{n}+p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (целое).
       Подстановка: $a+b{x}^{-n}=t^s$ (или $a{x}^n+b=x^n{t}^s$), где $s=\text{знаменатель }p$.
   Во всех трех случаях интеграл сводится к интегралу от рациональной функции $t$.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Здесь $R(u,v)$ обозначает рациональную функцию своих аргументов.

1. Интегралы вида $\int R(\sin x,\cos x)dx$

• Универсальная тригонометрическая подстановка:

   Всегда работает, но может приводить к сложным вычислениям.
   :$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$
   Тогда:
   :$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$
   Интеграл сводится к $\int R_1(t)dt$, где $R_1$ — рациональная функция $t$.

• Частные случаи (упрощающие подстановки):

   1.  Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (нечетность по $\sin x$):
       Подстановка: $t=\cos x⟹dt=-\sin xdx$.
   2.  Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (нечетность по $\cos x$):
       Подстановка: $t=\sin x⟹dt=\cos xdx$.
   3.  Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ (четность по $\sin x$ и $\cos x$ одновременно):
       Подстановка: $t=\tan x⟹dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}⟹dx=\frac{dt}{1+t^2}$.
       :$\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ (При подстановке в $R$ корни обычно сокращаются).

2. Интегралы вида $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$, где $m,n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

• Если хотя бы один из показателей $m$ или $n$ — нечетное положительное число:

   *   Если $m$ нечетно: отщепляем $\sin xdx$ и делаем замену $t=\cos x$.
   *   Если $n$ нечетно: отщепляем $\cos xdx$ и делаем замену $t=\sin x$.

• Если оба показателя $m$ и $n$ — четные неотрицательные числа:

   Используем формулы понижения степени:
   :${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$.

• Если $m+n$ — четное отрицательное число (или оба показателя отрицательные):

   Используем подстановку $t=\tan x$ (или $t=\cot x$). Это случай (3) из пункта 1.

3. Интегралы вида $\int \sin (\alpha x)\sin (\beta x)dx$, $\int \cos (\alpha x)\cos (\beta x)dx$, $\int \sin (\alpha x)\cos (\beta x)dx$

• Используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму/разность:

   *   $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
   *   $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$
   *   $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)]$

4. Интегралы вида $\int R(\sinh x,\cosh x)dx$

• Интегрируются аналогично тригонометрическим функциям.
• Универсальная подстановка: $t=\tanh (x/2)$.

   :$\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2},dx=\frac{2dt}{1-t^2}$.

• Частные случаи (нечетность/четность) и интегрирование произведений степеней ${\sinh }^{m}x{\cosh }^{n}x$ аналогичны тригонометрическим, но с использованием гиперболических тождеств (например, ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$).