МатАнПрод:ВопросыКлк2сем

Первообразная. Теорема о семействе первообразных функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Определение (Первообразная): Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, если $F(x)$ дифференцируема на $I$ и выполняется равенство:

$F^{\prime }(x)=f(x)$ для всех $x\in I$.

Теорема (О семействе первообразных): Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на том же интервале $I$ имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$,

где $C$ — произвольная постоянная ($C\in \mathbb{ℝ}$).

Определение (Неопределенный интеграл): Совокупность всех первообразных $F(x)+C$ для функции $f(x)$ на интервале $I$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается символом $\int f(x)dx$.

$\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

   $(\int f(x)dx)=(F(x)+C{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

   $d(\int f(x)dx)=(\int f(x)dx)dx=f(x)dx$

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

   $\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C$

4. Линейность: Если $\int f(x)dx$ и $\int g(x)dx$ существуют, то для любых констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ существует $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx$, и

   $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$

Таблица основных формул интегрирования:

• $\int 0dx=C$
• $\int 1dx=x+C$
• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ ($\alpha \ne -1$)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0,a\ne 1$)
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos \frac{x}{a}+C_1$ ($a>0$)
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\text{arccot}\frac{x}{a}+C_1$ ($a\ne 0$)
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ (длинный логарифм)
• $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
• $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
• $\int \frac{1}{{\cosh }^{2}x}dx=\tanh x+C$
• $\int \frac{1}{{\sinh }^{2}x}dx=-\coth x+C$

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Метод замены переменной (подстановки) в неопределенном интеграле

Пусть требуется вычислить $\int f(x)dx$.

Теорема (Формула замены переменной): Пусть функция $x=\phi (t)$ имеет непрерывную производную ${\phi }^{\prime }(t)$, и существует обратная функция $t={\phi }^{-1}(x)$. Пусть существует интеграл $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=G(t)+C$. Тогда существует $\int f(x)dx$ и выполняется равенство:

$\int f(x)dx=\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt{|}_{t={\phi }^{-1}(x)}=G({\phi }^{-1}(x))+C$

Идея метода: 1. Вводим новую переменную $t$ через подстановку $x=\phi (t)$ (или $t=\psi (x)$). 2. Находим дифференциал $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$. 3. Подставляем $x$ и $dx$ в исходный интеграл, выражая его через $t$: $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$. 4. Вычисляем полученный интеграл по переменной $t$. 5. Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя обратную замену $t={\phi }^{-1}(x)$.

Альтернативная форма (подстановка вида $t=\psi (x)$): Если $t=\psi (x)$, то $dt={\psi }^{\prime }(x)dx$. Если подынтегральное выражение можно представить как $g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx$, то:

$\int g(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)dx=\int g(t)dt{|}_{t=\psi (x)}$

Метод интегрирования по частям

Теорема (Формула интегрирования по частям): Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют непрерывные производные $u^{\prime }(x)$ и $v^{\prime }(x)$ на некотором интервале. Тогда справедливо равенство:

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$

или, в дифференциальной форме ($dv=v^{\prime }(x)dx$, $du=u^{\prime }(x)dx$):

$\int udv=uv-\int vdu$

Вывод формулы: Формула следует из правила дифференцирования произведения двух функций:

$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Интегрируя обе части по $x$, получаем:

$\int (u(x)v(x){)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }(x)v(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

По определению неопределенного интеграла, $\int (uv{)}^{\prime }dx=uv+C$. Учитывая, что интеграл в правой части также вычисляется с точностью до константы, её можно опустить на этом шаге:

$uv=\int vdu+\int udv$

Перенося $\int vdu$ в другую часть равенства, получаем формулу интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

Идея метода: Представить подынтегральное выражение $f(x)dx$ в виде $udv$ так, чтобы интеграл $\int vdu$ был проще исходного или сводился к нему.