МатАнПрод:ВопросыКлк2сем

Первообразная. Теорема о семействе первообразных функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Определение (Первообразная): Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, если $F(x)$ дифференцируема на $I$ и выполняется равенство:

$F^{\prime }(x)=f(x)$ для всех $x\in I$.

Теорема (О семействе первообразных): Если $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на интервале $I$, то любая другая первообразная $\mathrm{\Phi }(x)$ для $f(x)$ на том же интервале $I$ имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x)=F(x)+C$,

где $C$ — произвольная постоянная ($C\in \mathbb{ℝ}$).

Определение (Неопределенный интеграл): Совокупность всех первообразных $F(x)+C$ для функции $f(x)$ на интервале $I$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается символом $\int f(x)dx$.

$\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

   $(\int f(x)dx)=(F(x)+C{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

   $d(\int f(x)dx)=(\int f(x)dx)dx=f(x)dx$

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

   $\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C$

4. Линейность: Если $\int f(x)dx$ и $\int g(x)dx$ существуют, то для любых констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{ℝ}$ существует $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx$, и

   $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$

Таблица основных формул интегрирования:

• $\int 0dx=C$
• $\int 1dx=x+C$
• $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ ($\alpha \ne -1$)
• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}dx=e^x+C$
• $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ ($a>0,a\ne 1$)
• $\int \cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
• $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos \frac{x}{a}+C_1$ ($a>0$)
• $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\text{arccot}\frac{x}{a}+C_1$ ($a\ne 0$)
• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ (длинный логарифм)
• $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
• $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
• $\int \frac{1}{{\cosh }^{2}x}dx=\tanh x+C$
• $\int \frac{1}{{\sinh }^{2}x}dx=-\coth x+C$