Просмотр кода страницы МатАнПрод:Метод интегрирования по частям

'''Теорема''' 1. Если функции <math display="inline">u(x), v(x)</math> непрерывно дифференцируемы на интервале <math display="inline">(a, b)</math> и существует первообразная от <math display="inline">v(x)</math> и <math display="inline">v'(x)</math>, то применимы формулы интегрирования по частям. &gt;*(В оригинале: <math display="inline">u(x), v(x) \in D((a, b))</math> - “дифференцируемы на (a,b)” и “<math display="inline">\exists</math> первообразная от <math display="inline">v(x)</math> и <math display="inline">u'(x)</math> на <math display="inline">(a,b)</math>” 2. Формулы: <math display="inline">\int u v' dx = uv - \int v u' dx</math> или <math display="inline">\int u dv = uv - \int v du</math> - формула интегрирования по частям

'''Вывод формулы:''' Из правила дифференцирования произведения: <math display="inline">(uv)' = u'v + uv'</math> Интегрируем обе части: <math display="inline">\int (uv)' dx = \int u'v dx + \int uv' dx</math> <math display="inline">uv = \int v du + \int u dv</math> Отсюда получаем: <math display="inline">\int u dv = uv - \int v du</math>

'''Примеры:'''

# <math display="inline">\int \frac{dx}{x+1} = \int \frac{d(x+1)}{x+1}</math> Пусть <math display="inline">t = x+1</math>, тогда <math display="inline">dt = d(x+1)</math>. <math display="inline">\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|x+1| + C</math>
# <math display="inline">\int (2x+1)^{24} dx</math> Пусть <math display="inline">t = 2x+1</math>, тогда <math display="inline">dt = 2 dx</math>, т.е. <math display="inline">dx = \frac{1}{2} dt</math>. <math display="inline">\int (2x+1)^{24} dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^{24} d(2x+1) = \frac{1}{2} \int t^{24} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{25}}{25} + C = \frac{(2x+1)^{25}}{50} + C</math>
# <math display="inline">\int \tan^2 x dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) dx = \tan x - x + C</math>
# <math display="inline">\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> Пусть <math display="inline">t = \cos x</math>, тогда <math display="inline">dt = -\sin x dx</math>. <math display="inline">\int \frac{-dt}{t} = -\ln|t| + C = -\ln|\cos x| + C</math>. Или: <math display="inline">\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x| + C</math>
# <math display="inline">\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx</math> Пусть <math display="inline">t = \cos x</math>, тогда <math display="inline">dt = -\sin x dx</math>. <math display="inline">\int \frac{-dt}{1-t^2} = \int \frac{dt}{t^2-1} = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t-1| - \ln|t+1|) + C</math> <math display="inline">= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}\right| + C = -\frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right| + C</math>
# <math display="inline">\int x (x+1)^{24} dx</math> Пусть <math display="inline">t = x+1</math>, тогда <math display="inline">x = t-1</math>, <math display="inline">dx = dt</math>. <math display="inline">\int (t-1) t^{24} dt = \int (t^{25} - t^{24}) dt = \frac{t^{26}}{26} - \frac{t^{25}}{25} + C = \frac{(x+1)^{26}}{26} - \frac{(x+1)^{25}}{25} + C</math>
# <math display="inline">\int \frac{dx}{\tan^5 x \cos^2 x}</math> Пусть <math display="inline">t = \tan x</math>, тогда <math display="inline">dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx</math>. <math display="inline">\int \frac{d(\tan x)}{\tan^5 x} = -\frac{1}{4 \tan^4 x} + C</math>
# <math display="inline">\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}</math> (Табличный интеграл, “высокий логарифм”) Используем подстановку Эйлера: <math display="inline">t = x + \sqrt{x^2 \pm a^2}</math> <math display="inline">dt = \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 \pm a^2}} \right) dx = \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \right) dx = \frac{\sqrt{x^2 \pm a^2} + x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \frac{t}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx</math> Отсюда <math display="inline">\frac{dt}{t} = \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}</math>. <math display="inline">\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C</math>
# <math display="inline">I = \int \sqrt{x^2 + \alpha} dx</math> Применим интегрирование по частям: <math display="inline">u = \sqrt{x^2 + \alpha} \implies du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + \alpha}} dx</math> <math display="inline">dv = dx \implies v = x</math> <math display="inline">I = uv - \int v du = x \sqrt{x^2 + \alpha} - \int x \frac{x}{\sqrt{x^2 + \alpha}} dx = x \sqrt{x^2 + \alpha} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \alpha}} dx</math> Преобразуем подынтегральное выражение: <math display="inline">\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + \alpha}} dx = \int \frac{(x^2 + \alpha) - \alpha}{\sqrt{x^2 + \alpha}} dx = \int \left( \frac{x^2 + \alpha}{\sqrt{x^2 + \alpha}} - \frac{\alpha}{\sqrt{x^2 + \alpha}} \right) dx</math> <math display="inline">= \int \sqrt{x^2 + \alpha} dx - \alpha \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + \alpha}} = I - \alpha \ln|x + \sqrt{x^2 + \alpha}|</math> Подставляем обратно в формулу интегрирования по частям: <math display="inline">I = x \sqrt{x^2 + \alpha} - (I - \alpha \ln|x + \sqrt{x^2 + \alpha}|)</math> <math display="inline">I = x \sqrt{x^2 + \alpha} - I + \alpha \ln|x + \sqrt{x^2 + \alpha}|</math> <math display="inline">2I = x \sqrt{x^2 + \alpha} + \alpha \ln|x + \sqrt{x^2 + \alpha}|</math> <math display="inline">I = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + \alpha} + \frac{\alpha}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 + \alpha}| + C</math>

'''Типы интегралов, берущихся по частям или сводящихся к табличным:''' 1. <math display="inline">\int P_n(x) e^{\alpha x} dx</math> 2. <math display="inline">\int P_n(x) \sin(\alpha x) dx</math>, <math display="inline">\int P_n(x) \cos(\alpha x) dx</math> 3. <math display="inline">\int \arctan(\alpha x) dx</math>, <math display="inline">\int \arcsin(\alpha x) dx</math>, etc. 4. <math display="inline">\int \ln(\alpha x) dx</math> 5. <math display="inline">\int e^{\alpha x} \cos(\beta x) dx</math>, <math display="inline">\int e^{\alpha x} \sin(\beta x) dx</math>

'''Пример:''' <math display="inline">\int x \sin x dx</math> Применим интегрирование по частям: <math display="inline">u = x \implies du = dx</math> <math display="inline">dv = \sin x dx \implies v = -\cos x</math> <math display="inline">\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C</math>

Другой способ: <math display="inline">\int x \sin x dx = -\int x d(\cos x)</math> <math display="inline">u=x, v=\cos x</math> <math display="inline">= -(x \cos x - \int \cos x dx) = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C</math>

[[Категория:МатАнПрод]]