Просмотр кода страницы МатАнПрод:Интегрирование рациональных функций

== Основные понятия ==
'''Определение:''' Многочленом (полиномом) <math display="inline">P_n(x)</math> степени <math display="inline">n</math> (<math display="inline">n \ge 0</math>, <math display="inline">n \in \mathbb{Z}</math>) называется функция вида: <math display="inline">P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n</math>, где <math display="inline">a_i \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">a_n \neq 0</math>.

'''Определение:''' Рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция вида <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>, где <math display="inline">P_n(x)</math> и <math display="inline">Q_m(x)</math> - многочлены.

'''Определение:''' Рациональная функция <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> называется '''правильной''', если степень числителя меньше степени знаменателя: <math display="inline">\deg(P_n(x)) < \deg(Q_m(x))</math>. В противном случае (если <math display="inline">n \ge m</math>) дробь называется '''неправильной'''.

'''Теорема (о делении многочленов с остатком):''' Если рациональная дробь <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> является неправильной (<math display="inline">n \ge m</math>), то существует единственное представление в виде: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = M_{n-m}(x) + \frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> где <math display="inline">M_{n-m}(x)</math> - многочлен (целая часть), а <math display="inline">\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> - правильная рациональная дробь (<math display="inline">k = \deg(N_k(x)) < m</math>).

'''Определение:''' Число <math display="inline">x_0</math> называется '''корнем многочлена''' <math display="inline">Q_m(x)</math>, если <math display="inline">Q_m(x_0) = 0</math>.

'''Теорема Безу:''' Число <math display="inline">x_0</math> является корнем многочлена <math display="inline">Q_m(x)</math> тогда и только тогда, когда <math display="inline">Q_m(x)</math> делится на <math display="inline">(x-x_0)</math> без остатка, т.е. <math display="inline">Q_m(x_0) = 0 \iff Q_m(x) = (x-x_0) Q_{m-1}(x)</math>, где <math display="inline">Q_{m-1}(x)</math> - многочлен степени <math display="inline">m-1</math>.

'''Теорема (о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами):''' Если многочлен <math display="inline">Q_m(x)</math> имеет действительные коэффициенты и число <math display="inline">x_0 = \alpha + i\beta \in \mathbb{C}</math> (<math display="inline">\beta \neq 0</math>) является его корнем, то сопряженное число <math display="inline">\bar{x}_0 = \alpha - i\beta</math> также является корнем <math display="inline">Q_m(x)</math>. '''Доказательство:''' Пусть <math display="inline">Q_m(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_m x^m</math>, где <math display="inline">c_i \in \mathbb{R}</math>. Если <math display="inline">Q_m(x_0) = 0</math>, то <math display="inline">c_0 + c_1 x_0 + \dots + c_m x_0^m = 0</math>. Возьмем комплексное сопряжение от обеих частей: <math display="inline">\overline{c_0 + c_1 x_0 + \dots + c_m x_0^m} = \overline{0}</math> <math display="inline">\overline{c_0} + \overline{c_1 x_0} + \dots + \overline{c_m x_0^m} = 0</math> Так как <math display="inline">c_i \in \mathbb{R}</math>, то <math display="inline">\overline{c_i} = c_i</math>. Используя свойства сопряжения (<math display="inline">\overline{a+b}=\bar{a}+\bar{b}</math>, <math display="inline">\overline{ab}=\bar{a}\bar{b}</math>), получаем: <math display="inline">c_0 + c_1 \bar{x}_0 + \dots + c_m \bar{x}_0^m = 0</math>. Это означает, что <math display="inline">Q_m(\bar{x}_0) = 0</math>, т.е. <math display="inline">\bar{x}_0</math> - корень <math display="inline">Q_m(x)</math>.

'''Основная теорема алгебры:''' Всякий многочлен степени <math display="inline">m \ge 1</math> с действительными (или комплексными) коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел <math display="inline">\mathbb{C}</math>.

'''Следствие:''' Любой многочлен <math display="inline">Q_m(x)</math> степени <math display="inline">m \ge 1</math> с действительными коэффициентами имеет ровно <math display="inline">m</math> корней в <math display="inline">\mathbb{C}</math> (с учетом их кратности).

== Разложение многочлена на множители ==

'''Рассуждение:'''
<ol start="1" style="list-style-type: decimal;">
<li>Пусть дан многочлен <math display="inline">Q_m(x)</math> с действительными коэффициентами. По основной теореме алгебры, существует корень <math display="inline">x_1 \in \mathbb{C}</math> такой, что <math display="inline">Q_m(x_1) = 0</math>.</li>
<li>По теореме Безу, <math display="inline">Q_m(x) = (x-x_1) Q_{m-1}^{(1)}(x)</math>. 3. Применяя теорему Безу последовательно к <math display="inline">Q_{m-1}^{(1)}(x)</math>, <math display="inline">Q_{m-2}^{(2)}(x)</math>, …, получаем разложение на линейные множители над <math display="inline">\mathbb{C}</math>: <math display="inline">Q_m(x) = c_m (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_m)</math> где <math display="inline">x_1, x_2, ..., x_m</math> - все корни многочлена <math display="inline">Q_m(x)</math> (с учетом кратности), а <math display="inline">c_m</math> - старший коэффициент многочлена <math display="inline">Q_m(x)</math>.</li>
<li><p>Если <math display="inline">Q_m(x)</math> имеет действительные коэффициенты, то его комплексные корни <math display="inline">(\beta \neq 0)</math> входят сопряженными парами. Пусть <math display="inline">x_0 = \alpha + i\beta</math> - корень, тогда <math display="inline">\bar{x}_0 = \alpha - i\beta</math> - тоже корень. В разложении над <math display="inline">\mathbb{R}</math> пара линейных множителей <math display="inline">(x-x_0)(x-\bar{x}_0)</math> объединяется в один квадратичный множитель с действительными коэффициентами: <math display="inline">(x-x_0)(x-\bar{x}_0) = (x - (\alpha + i\beta))(x - (\alpha - i\beta))</math> <math display="inline">= ((x-\alpha) - i\beta)((x-\alpha) + i\beta)</math> <math display="inline">= (x-\alpha)^2 - (i\beta)^2 = (x-\alpha)^2 + \beta^2</math> <math display="inline">= x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + \beta^2</math> Обозначим <math display="inline">p = -2\alpha</math> и <math display="inline">q = \alpha^2 + \beta^2</math>. Тогда множитель имеет вид <math display="inline">x^2 + px + q</math>. Дискриминант этого квадратного трехчлена: <math display="inline">D = p^2 - 4q = (-2\alpha)^2 - 4(\alpha^2 + \beta^2) = 4\alpha^2 - 4\alpha^2 - 4\beta^2 = -4\beta^2</math>. Так как <math display="inline">\beta \neq 0</math>, то <math display="inline">D = -4\beta^2 < 0</math>. Это означает, что квадратный трехчлен <math display="inline">x^2+px+q</math> не имеет действительных корней и является неприводимым над полем <math display="inline">\mathbb{R}</math>.</p></li>
<li><p>Таким образом, любой многочлен <math display="inline">Q_m(x)</math> с действительными коэффициентами может быть разложен над <math display="inline">\mathbb{R}</math> в произведение своего старшего коэффициента <math display="inline">c_m</math>, линейных множителей вида <math display="inline">(x-x_k)</math>, соответствующих действительным корням <math display="inline">x_k</math>, и квадратичных множителей вида <math display="inline">(x^2+p_j x+q_j)</math> с отрицательным дискриминантом, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней. <math display="inline">Q_m(x) = c_m (x-x_{r_1})^{k_1} \dots (x-x_{r_s})^{k_s} (x^2+p_1 x+q_1)^{l_1} \dots (x^2+p_t x+q_t)^{l_t}</math> где <math display="inline">\sum k_i + 2 \sum l_j = m</math>.</p></li></ol>

=== Теорема о разложении многочлена над <math display="inline">\mathbb{R}</math> ===

'''Теорема:''' Любой многочлен <math display="inline">Q_m(x)</math> степени <math display="inline">m \ge 1</math> с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения своего старшего коэффициента <math display="inline">c_m</math> и множителей вида <math display="inline">(x-x_i)</math> и <math display="inline">(x^2+p_j x+q_j)</math>, где <math display="inline">x_i</math> - действительные корни, а <math display="inline">x^2+p_j x+q_j</math> - неприводимые над <math display="inline">\mathbb{R}</math> квадратные трехчлены (<math display="inline">p_j^2 - 4q_j < 0</math>), соответствующие парам комплексно-сопряженных корней. Будем считать <math display="inline">c_m=1</math> (если нет, можно вынести за скобки). <math display="inline">Q_m(x) = (x-x_1)^{k_1} (x-x_2)^{k_2} \dots (x-x_p)^{k_p} (x^2+p_1x+q_1)^{l_1} (x^2+p_2x+q_2)^{l_2} \dots (x^2+p_s x+q_s)^{l_s}</math> где: * <math display="inline">x_i \in \mathbb{R}</math> - различные действительные корни * <math display="inline">k_i \in \mathbb{N}</math> - кратности действительных корней * <math display="inline">p_j, q_j \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">p_j^2 - 4q_j < 0</math> (квадратные трехчлены неприводимы) * <math display="inline">l_j \in \mathbb{N}</math> - кратности пар комплексно-сопряженных корней * Сумма кратностей: <math display="inline">\sum_{i=1}^{p} k_i + 2 \sum_{j=1}^{s} l_j = m = \deg(Q_m(x))</math>.
== Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби ==

'''Лемма 1:''' Пусть <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> - правильная рациональная дробь (<math display="inline">n < m</math>). Пусть <math display="inline">a \in \mathbb{R}</math> является корнем знаменателя <math display="inline">Q_m(x)</math> кратности <math display="inline">k \ge 1</math>, т.е. <math display="inline">Q_m(a)=0</math>, и <math display="inline">Q_m(x) = (x-a)^k Q_{m-k}^{(1)}(x)</math>, где <math display="inline">Q_{m-k}^{(1)}(a) \neq 0</math>. Тогда существует единственное представление: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{A_k}{(x-a)^k} + \frac{\tilde{P}_1(x)}{(x-a)^{k-1} Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> где <math display="inline">A_k \in \mathbb{R}</math> - константа, а <math display="inline">\frac{\tilde{P}_1(x)}{(x-a)^{k-1} Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> - также правильная рациональная дробь.

'''Нахождение коэффициента <math display="inline">A_k</math>:''' Умножим обе части равенства на <math display="inline">(x-a)^k</math>: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_{m-k}^{(1)}(x)} = A_k + \frac{\tilde{P}_1(x) (x-a)}{Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> Положим <math display="inline">x=a</math>. Так как <math display="inline">Q_{m-k}^{(1)}(a) \neq 0</math>, получим: <math display="inline">\frac{P_n(a)}{Q_{m-k}^{(1)}(a)} = A_k + 0</math> '''(!) Формула для <math display="inline">A_k</math>:''' <math display="inline">A_k = \frac{P_n(a)}{Q_{m-k}^{(1)}(a)}</math>

'''Доказательство существования и единственности (кратко):''' Из <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} - \frac{A_k}{(x-a)^k} = \frac{P_n(x) - A_k Q_{m-k}^{(1)}(x)}{(x-a)^k Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> Выберем <math display="inline">A_k = \frac{P_n(a)}{Q_{m-k}^{(1)}(a)}</math>. Тогда числитель <math display="inline">R(x) = P_n(x) - A_k Q_{m-k}^{(1)}(x)</math> имеет корень при <math display="inline">x=a</math>, так как <math display="inline">R(a) = P_n(a) - \frac{P_n(a)}{Q_{m-k}^{(1)}(a)} Q_{m-k}^{(1)}(a) = 0</math>. Следовательно, <math display="inline">R(x) = (x-a) \tilde{P}_1(x)</math> по теореме Безу. Тогда: <math display="inline">\frac{(x-a) \tilde{P}_1(x)}{(x-a)^k Q_{m-k}^{(1)}(x)} = \frac{\tilde{P}_1(x)}{(x-a)^{k-1} Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> Можно показать, что полученная дробь является правильной. Единственность <math display="inline">A_k</math> доказывается от противного: предположим два разложения с <math display="inline">A_{k,1}</math> и <math display="inline">A_{k,2}</math>, приведем к общему знаменателю и подставим <math display="inline">x=a</math>, что даст <math display="inline">A_{k,1} = A_{k,2}</math>. * Равенство <math display="inline">A_1 Q^{(1)}(x) + \tilde{P}_1(x)(x-a) = A_2 Q^{(1)}(x) + \tilde{P}_2(x)(x-a)</math> при <math display="inline">x=a</math> дает <math display="inline">A_1 Q^{(1)}(a) = A_2 Q^{(1)}(a)</math>, откуда <math display="inline">A_1=A_2</math>, так как <math display="inline">Q^{(1)}(a) \neq 0</math>.

'''Следствие (Применение Леммы 1 k-раз):''' Повторяя эту процедуру <math display="inline">k</math> раз для корня <math display="inline">a</math>, мы выделим все слагаемые, соответствующие этому корню: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{A_k}{(x-a)^k} + \frac{A_{k-1}}{(x-a)^{k-1}} + \dots + \frac{A_1}{x-a} + \frac{\hat{P}(x)}{Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> где <math display="inline">A_i \in \mathbb{R}</math>, а <math display="inline">\frac{\hat{P}(x)}{Q_{m-k}^{(1)}(x)}</math> - правильная рациональная дробь, знаменатель которой уже не имеет корня <math display="inline">a</math> (<math display="inline">Q_{m-k}^{(1)}(a) \neq 0</math>).

'''Лемма 2:''' Пусть <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> - правильная рациональная дробь (<math display="inline">n < m</math>). Пусть <math display="inline">(x^2+px+q)</math> - неприводимый над <math display="inline">\mathbb{R}</math> множитель (<math display="inline">p^2-4q < 0</math>) знаменателя <math display="inline">Q_m(x)</math> кратности <math display="inline">k \ge 1</math>. То есть <math display="inline">Q_m(x) = (x^2+px+q)^k \tilde{Q}_{m-2k}(x)</math>, где <math display="inline">\tilde{Q}_{m-2k}(x_0) \neq 0</math> для корней <math display="inline">x_0 = \alpha \pm i\beta</math> уравнения <math display="inline">x^2+px+q=0</math>. Тогда существует единственное представление: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{A_k x + B_k}{(x^2+px+q)^k} + \frac{\tilde{P}_1(x)}{(x^2+px+q)^{k-1} \tilde{Q}_{m-2k}(x)}</math> ('''**''') где <math display="inline">A_k, B_k \in \mathbb{R}</math> - константы, а вторая дробь - правильная рациональная дробь.

'''Нахождение коэффициентов <math display="inline">A_k, B_k</math>:''' Умножим обе части равенства на <math display="inline">(x^2+px+q)^k</math>: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x)} = A_k x + B_k + \frac{\tilde{P}_1(x) (x^2+px+q)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x)}</math> Пусть <math display="inline">x_0 = \alpha+i\beta</math> - один из комплексных корней уравнения <math display="inline">x^2+px+q=0</math>. Подставим <math display="inline">x=x_0</math>: <math display="inline">\frac{P_n(x_0)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x_0)} = A_k x_0 + B_k + 0</math> Обозначим комплексное число <math display="inline">R = \frac{P_n(x_0)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x_0)} = \text{Re}(R) + i \text{Im}(R)</math>. <math display="inline">A_k (\alpha+i\beta) + B_k = \text{Re}(R) + i \text{Im}(R)</math> <math display="inline">(A_k \alpha + B_k) + i (A_k \beta) = \text{Re}(R) + i \text{Im}(R)</math> Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему для <math display="inline">A_k, B_k</math>: <math display="inline">\begin{cases} A_k \alpha + B_k = \text{Re}(R) \\ A_k \beta = \text{Im}(R) \end{cases}</math> Так как <math display="inline">\beta \neq 0</math>, система имеет единственное решение: <math display="inline">A_k = \frac{\text{Im}(R)}{\beta}</math> <math display="inline">B_k = \text{Re}(R) - A_k \alpha = \text{Re}(R) - \alpha \frac{\text{Im}(R)}{\beta}</math> Так как <math display="inline">P_n, \tilde{Q}_{m-2k}</math> имеют действительные коэффициенты, и если <math display="inline">x_0</math> - корень, то <math display="inline">\bar{x}_0</math> - тоже, можно показать, что <math display="inline">A_k, B_k</math> всегда получаются действительными числами.

'''Доказательство существования и единственности (кратко):''' Аналогично случаю действительного корня. Рассмотрим разность <math display="inline">P_n(x) - (A_k x + B_k) \tilde{Q}_{m-2k}(x)</math>. Подстановка <math display="inline">x=x_0</math> дает <math display="inline">P_n(x_0) - (A_k x_0 + B_k) \tilde{Q}_{m-2k}(x_0) = P_n(x_0) - \frac{P_n(x_0)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x_0)} \tilde{Q}_{m-2k}(x_0) = 0</math>. Значит <math display="inline">x_0</math> - корень этого полинома. Так как полином имеет действительные коэффициенты, то <math display="inline">\bar{x}_0</math> тоже корень. Следовательно, полином делится на <math display="inline">(x-x_0)(x-\bar{x}_0) = x^2+px+q</math>. <math display="inline">P_n(x) - (A_k x + B_k) \tilde{Q}_{m-2k}(x) = (x^2+px+q) \hat{P}(x)</math>. Это позволяет переписать исходную дробь в виде ('''**'''). Можно показать, что остаточная дробь правильная. Единственность доказывается аналогично случаю действительных корней, приравнивая два разложения и подставляя <math display="inline">x=x_0</math>. * Равенство <math display="inline">(A_1x+B_1)\tilde{Q}(x) + \tilde{P}_1(x)(x^2+px+q) = (A_2x+B_2)\tilde{Q}(x) + \tilde{P}_2(x)(x^2+px+q)</math> при <math display="inline">x=x_0</math> дает <math display="inline">(A_1x_0+B_1)\tilde{Q}(x_0) = (A_2x_0+B_2)\tilde{Q}(x_0)</math>. Так как <math display="inline">\tilde{Q}(x_0) \neq 0</math>, имеем <math display="inline">A_1x_0+B_1=A_2x_0+B_2</math>. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем <math display="inline">A_1=A_2</math> и <math display="inline">B_1=B_2</math>.

'''Следствие (Применение Леммы 2 k-раз):''' Повторяя эту процедуру <math display="inline">k</math> раз для множителя <math display="inline">(x^2+px+q)</math>, мы выделим все слагаемые, соответствующие этой паре корней: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \frac{A_k x + B_k}{(x^2+px+q)^k} + \frac{A_{k-1} x + B_{k-1}}{(x^2+px+q)^{k-1}} + \dots + \frac{A_1 x + B_1}{x^2+px+q} + \frac{\hat{P}(x)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x)}</math> где <math display="inline">A_i, B_i \in \mathbb{R}</math>, а <math display="inline">\frac{\hat{P}(x)}{\tilde{Q}_{m-2k}(x)}</math> - правильная рациональная дробь, знаменатель которой уже не имеет корней <math display="inline">x_0, \bar{x}_0</math>.

<span id="общая-теорема-о-разложении-на-простейшие-дроби"></span>
=== Общая теорема о разложении на простейшие дроби ===

'''Теорема:''' Любую правильную рациональную дробь <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>, знаменатель которой разложен на множители над <math display="inline">\mathbb{R}</math> вида <math display="inline">Q_m(x) = c_m (x-x_1)^{k_1} \dots (x-x_p)^{k_p} (x^2+p_1x+q_1)^{l_1} \dots (x^2+p_s x+q_s)^{l_s}</math> можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей: <math display="block">
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} =
  \sum_{i=1}^{p} \left( \frac{A_{i,k_i}}{(x-x_i)^{k_i}} + \frac{A_{i,k_i-1}}{(x-x_i)^{k_i-1}} + \dots + \frac{A_{i,1}}{x-x_i} \right) + \sum_{j=1}^{s} \left( \frac{B_{j,l_j} x + C_{j,l_j}}{(x^2+p_j x+q_j)^{l_j}} + \frac{B_{j,l_j-1} x + C_{j,l_j-1}}{(x^2+p_j x+q_j)^{l_j-1}} + \dots + \frac{B_{j,1} x + C_{j,1}}{x^2+p_j x+q_j} \right)
</math> где <math display="inline">A_{i,r}, B_{j,t}, C_{j,t}</math> - действительные коэффициенты. ''(Примечание: В конспекте коэффициенты для квадратичных множителей обозначались <math display="inline">A_j x + B_j</math>, здесь использовано <math display="inline">B_j x + C_j</math> для избежания конфликта с <math display="inline">A_{i,r}</math> для линейных множителей, что является стандартной практикой).''

Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена (если дробь неправильная) и суммы простейших дробей.
ivabus@celerrime-x ➜ ~ $ pandoc -f markdown -t mediawiki /Users/ivabus/Downloads/Матан\ №4.md  -o -
<span id="теорема-о-разложении-правильной-рациональной-дроби"></span>
=== Теорема о разложении правильной рациональной дроби ===

'''Теорема:''' Пусть <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> - правильная рациональная дробь (<math display="inline">n < m</math>), и знаменатель <math display="inline">Q_m(x)</math> (со старшим коэффициентом, равным 1) разложен на множители над <math display="inline">\mathbb{R}</math>: <math display="inline">Q_m(x) = (x-x_1)^{k_1} (x-x_2)^{k_2} \dots (x-x_p)^{k_p} (x^2+p_1x+q_1)^{l_1} (x^2+p_2x+q_2)^{l_2} \dots (x^2+p_s x+q_s)^{l_s}</math> где <math display="inline">x_i \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">k_i \in \mathbb{N}</math>, <math display="inline">p_j, q_j \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">p_j^2 - 4q_j < 0</math>, <math display="inline">l_j \in \mathbb{N}</math>. Тогда существует '''единственное''' разложение дроби <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> в сумму простейших дробей вида: <math display="block">
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = \sum_{i=1}^{p} \sum_{r=1}^{k_i} \frac{A_{i,r}}{(x-x_i)^r} + \sum_{j=1}^{s} \sum_{t=1}^{l_j} \frac{B_{j,t} x + C_{j,t}}{(x^2+p_j x+q_j)^t}
</math> где <math display="inline">A_{i,r}, B_{j,t}, C_{j,t} \in \mathbb{R}</math> - некоторые константы.

''(Примечание: В оригинальном конспекте использовалась несколько иная индексация сумм: <math display="inline">\sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{k_i} \frac{A_{i,j}}{(x-x_i)^{k_i-j+1}} + \sum_{i=1}^{s} \sum_{j=1}^{l_i} \frac{B_{i,j}x+C_{i,j}}{(x^2+p_i x+q_i)^{l_i-j+1}}</math>. Представленная выше форма является стандартной и эквивалентной.)''

'''Замечание:''' Если исходная дробь <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math> неправильная (<math display="inline">n \ge m</math>), то сначала необходимо выделить целую часть (многочлен) с помощью деления “уголком”: <math display="inline">\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = M_{n-m}(x) + \frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math>, где <math display="inline">k < m</math>. Затем правильную дробь <math display="inline">\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> раскладывают на простейшие.

<span id="интегрирование-простейших-дробей"></span>
=== Интегрирование простейших дробей ===

'''Определение:''' Простейшими дробями I, II, III, IV типов называются соответственно дроби вида: I. <math display="inline">\frac{A}{x-a}</math> II. <math display="inline">\frac{A}{(x-a)^k}</math>, где <math display="inline">k \in \mathbb{N}, k \ge 2</math>. III. <math display="inline">\frac{Ax+B}{x^2+px+q}</math>, где <math display="inline">p^2-4q < 0</math>. IV. <math display="inline">\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}</math>, где <math display="inline">p^2-4q < 0</math>, <math display="inline">k \in \mathbb{N}, k \ge 2</math>.

Интегралы от простейших дробей:

I. <math display="inline">\int \frac{A}{x-a} dx = A \int \frac{d(x-a)}{x-a} = A \ln|x-a| + C</math>

<ol start="2" style="list-style-type: upper-roman;">
<li><p><math display="inline">\int \frac{A}{(x-a)^k} dx = A \int (x-a)^{-k} d(x-a) = A \frac{(x-a)^{-k+1}}{-k+1} + C = \frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}} + C</math></p></li>
<li><p><math display="inline">\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q} dx</math> Знаменатель <math display="inline">x^2+px+q</math> имеет комплексные корни, т.к. <math display="inline">D=p^2-4q<0</math>. Выделим в числителе производную знаменателя <math display="inline">(x^2+px+q)' = 2x+p</math>: <math display="inline">Ax+B = \frac{A}{2}(2x+p) - \frac{Ap}{2} + B = \frac{A}{2}(2x+p) + \left(B - \frac{Ap}{2}\right)</math> Тогда интеграл разбивается на два: <math display="inline">\int \frac{\frac{A}{2}(2x+p)}{x^2+px+q} dx + \int \frac{B - \frac{Ap}{2}}{x^2+px+q} dx</math> Первый интеграл: <math display="inline">\frac{A}{2} \int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} = \frac{A}{2} \ln(x^2+px+q) + C_1</math> (модуль не нужен, т.к. <math display="inline">x^2+px+q > 0</math> при <math display="inline">D<0</math>). Второй интеграл: Выделим полный квадрат в знаменателе: <math display="inline">x^2+px+q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + q - \frac{p^2}{4} = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + a^2</math>, где <math display="inline">a^2 = q - \frac{p^2}{4} > 0</math>. <math display="inline">\left(B - \frac{Ap}{2}\right) \int \frac{dx}{(x+p/2)^2 + a^2} = \left(B - \frac{Ap}{2}\right) \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x+p/2}{a}\right) + C_2</math> Объединяя: <math display="inline">\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q} dx = \frac{A}{2} \ln(x^2+px+q) + \frac{B - Ap/2}{\sqrt{q-p^2/4}} \arctan\left(\frac{x+p/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\right) + C</math></p></li>
<li><p><math display="inline">\int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k} dx</math>, где <math display="inline">k \ge 2</math>. Аналогично типу III, выделяем производную знаменателя в числителе: <math display="inline">\int \frac{\frac{A}{2}(2x+p)}{(x^2+px+q)^k} dx + \int \frac{B - \frac{Ap}{2}}{(x^2+px+q)^k} dx</math> Первый интеграл: <math display="inline">\frac{A}{2} \int (x^2+px+q)^{-k} d(x^2+px+q) = \frac{A}{2} \frac{(x^2+px+q)^{-k+1}}{-k+1} + C_1 = \frac{A}{2(1-k)(x^2+px+q)^{k-1}} + C_1</math>. Второй интеграл: <math display="inline">\left(B - \frac{Ap}{2}\right) \int \frac{dx}{((x+p/2)^2 + a^2)^k} = \left(B - \frac{Ap}{2}\right) \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^k}</math>, где <math display="inline">t=x+p/2</math>, <math display="inline">a^2=q-p^2/4</math>. Обозначим <math display="inline">I_k = \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^k}</math>. Этот интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы.</p></li></ol>

'''Вывод рекуррентной формулы для <math display="inline">I_k = \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^k}</math>:''' <math display="inline">I_k = \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^k} = \frac{1}{a^2} \int \frac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^k} dt</math> <math display="inline">I_k = \frac{1}{a^2} \left( \int \frac{t^2+a^2}{(t^2+a^2)^k} dt - \int \frac{t^2}{(t^2+a^2)^k} dt \right)</math> <math display="inline">I_k = \frac{1}{a^2} \left( I_{k-1} - \int t \cdot \frac{t}{(t^2+a^2)^k} dt \right)</math> Интегрируем по частям <math display="inline">\int t \cdot \frac{t dt}{(t^2+a^2)^k}</math>: <math display="inline">u=t \implies du=dt</math> <math display="inline">dv = \frac{t dt}{(t^2+a^2)^k} \implies v = \int \frac{t dt}{(t^2+a^2)^k} = \frac{1}{2} \int \frac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^k} = \frac{1}{2(1-k)(t^2+a^2)^{k-1}}</math> <math display="inline">\int t dv = uv - \int v du = \frac{t}{2(1-k)(t^2+a^2)^{k-1}} - \int \frac{dt}{2(1-k)(t^2+a^2)^{k-1}}</math> <math display="inline">\int t \frac{t dt}{(t^2+a^2)^k} = \frac{t}{2(1-k)(t^2+a^2)^{k-1}} - \frac{1}{2(1-k)} I_{k-1}</math> Подставляем обратно в выражение для <math display="inline">I_k</math>: <math display="inline">I_k = \frac{1}{a^2} \left( I_{k-1} - \left[ \frac{t}{2(1-k)(t^2+a^2)^{k-1}} - \frac{1}{2(1-k)} I_{k-1} \right] \right)</math> <math display="inline">I_k = \frac{1}{a^2} \left( I_{k-1} \left(1 + \frac{1}{2(k-1)}\right) + \frac{t}{2(k-1)(t^2+a^2)^{k-1}} \right)</math> <math display="inline">I_k = \frac{1}{a^2} \left( I_{k-1} \frac{2k-2+1}{2(k-1)} + \frac{t}{2(k-1)(t^2+a^2)^{k-1}} \right)</math> <math display="block"> I_k = \frac{2k-3}{2a^2(k-1)} I_{k-1} + \frac{1}{2a^2(k-1)} \frac{t}{(t^2+a^2)^{k-1}} </math> Эта формула позволяет свести вычисление <math display="inline">I_k</math> к <math display="inline">I_{k-1}</math>, затем к <math display="inline">I_{k-2}</math>, и так далее, пока не дойдем до <math display="inline">I_1 = \int \frac{dt}{t^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{t}{a}) + C</math>.

'''Вывод:''' Интеграл от любой рациональной функции <math display="inline">\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} dx</math> всегда выражается через элементарные функции (многочлены, логарифмы, арктангенсы). 

[[Категория:МатАнПрод]]