Просмотр кода страницы МатАнПрод:Интегрирование некоторых иррациональных функций

Здесь <math display="inline">R(u,v)</math> обозначает рациональную функцию своих аргументов, т.е. отношение двух многочленов от <math display="inline">u</math> и <math display="inline">v</math>.

<span id="интегралы-вида-int-rleftx-leftfracaxbcxdrightr_1-dots-leftfracaxbcxdrightr_nright-dx"></span>
=== 1. Интегралы вида <math display="inline">\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r_1}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r_n}\right) dx</math> ===

где <math display="inline">r_1, \dots, r_n \in \mathbb{Q}</math> - рациональные числа, <math display="inline">a, b, c, d \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">ad-bc \neq 0</math>. Пусть <math display="inline">r_i = p_i/q_i</math>. Находим <math display="inline">h = \text{НОК}(q_1, \dots, q_n)</math> - наименьшее общее кратное знаменателей <math display="inline">q_i</math>. Используем '''подстановку''': <math display="block"> t^h = \frac{ax+b}{cx+d} </math> Из этого равенства выражаем <math display="inline">x</math> как рациональную функцию от <math display="inline">t</math>. Тогда <math display="inline">dx</math> также будет выражаться как произведение рациональной функции от <math display="inline">t</math> на <math display="inline">dt</math>. Все дробные степени <math display="inline">(\frac{ax+b}{cx+d})^{p_i/q_i} = (t^h)^{p_i/q_i} = t^{h p_i / q_i}</math> станут целыми степенями <math display="inline">t</math>, так как <math display="inline">h</math> делится на каждый <math display="inline">q_i</math>. В результате интеграл сводится к интегралу от рациональной функции от <math display="inline">t</math>.

'''Пример:''' <math display="inline">\int \frac{1+3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{5-\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x^2}} dx</math> Здесь <math display="inline">\frac{ax+b}{cx+d} = x</math>. Степени: <math display="inline">1/2, 1/3, 1/6, 2/3</math>. Знаменатели: <math display="inline">2, 3, 6, 3</math>. <math display="inline">h = \text{НОК}(2, 3, 6) = 6</math>. Подстановка: <math display="inline">x = t^6</math>. Тогда <math display="inline">dx = 6t^5 dt</math>. <math display="inline">\sqrt{x} = t^3</math>, <math display="inline">\sqrt[3]{x} = t^2</math>, <math display="inline">\sqrt[6]{x} = t</math>, <math display="inline">\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} = (t^6)^{2/3} = t^4</math>. <math display="inline">\int \frac{1+3t^3+t^2}{5-t+t^4} (6t^5 dt) = 6 \int \frac{t^5(1+3t^3+t^2)}{t^4-t+5} dt</math> Получили интеграл от рациональной функции.

<span id="интегралы-вида-int-rx-sqrtax2bxc-dx"></span>
=== 2. Интегралы вида <math display="inline">\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math> ===

где <math display="inline">a \neq 0</math>, <math display="inline">b^2-4ac \neq 0</math>. Такие интегралы берутся с помощью '''подстановок Эйлера'''.

# '''Первая подстановка Эйлера:''' Если <math display="inline">a > 0</math>, полагаем: <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a} x + t</math> (выбираем один из знаков) Например, <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} x + t</math>. Возводим в квадрат: <math display="inline">ax^2+bx+c = ax^2 + 2t\sqrt{a} x + t^2</math> <math display="inline">bx+c = 2t\sqrt{a} x + t^2</math> <math display="inline">x(b - 2t\sqrt{a}) = t^2 - c \implies x = \frac{t^2-c}{b-2t\sqrt{a}}</math> Отсюда <math display="inline">x</math> и <math display="inline">dx</math> выражаются рационально через <math display="inline">t</math>. <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c}</math> также выражается рационально через <math display="inline">t</math> (из подстановки). Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции от <math display="inline">t</math>.
# '''Вторая подстановка Эйлера:''' Если <math display="inline">c > 0</math>, полагаем: <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c}</math> (выбираем один из знаков) Например, <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt{c}</math>. Возводим в квадрат: <math display="inline">ax^2+bx+c = x^2t^2 + 2xt\sqrt{c} + c</math> <math display="inline">ax^2+bx = x^2t^2 + 2xt\sqrt{c}</math> Делим на <math display="inline">x</math> (при <math display="inline">x\neq 0</math>): <math display="inline">ax+b = xt^2 + 2t\sqrt{c}</math> <math display="inline">x(a-t^2) = 2t\sqrt{c} - b \implies x = \frac{2t\sqrt{c}-b}{a-t^2}</math> Снова <math display="inline">x, dx, \sqrt{ax^2+bx+c}</math> выражаются рационально через <math display="inline">t</math>.
# '''Третья подстановка Эйлера:''' Если квадратный трехчлен <math display="inline">ax^2+bx+c</math> имеет действительные корни <math display="inline">x_1, x_2</math> (т.е. <math display="inline">b^2-4ac > 0</math>), то <math display="inline">ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)</math>. Полагаем: <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x-x_1)</math> (или <math display="inline">t(x-x_2)</math>) <math display="inline">\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)} = t(x-x_1)</math> Возводим в квадрат: <math display="inline">a(x-x_1)(x-x_2) = t^2(x-x_1)^2</math> Делим на <math display="inline">(x-x_1)</math> (при <math display="inline">x \neq x_1</math>): <math display="inline">a(x-x_2) = t^2(x-x_1)</math> <math display="inline">ax - ax_2 = t^2 x - t^2 x_1</math> <math display="inline">x(a-t^2) = ax_2 - t^2 x_1 \implies x = \frac{ax_2 - t^2 x_1}{a-t^2}</math> Снова <math display="inline">x, dx, \sqrt{ax^2+bx+c}</math> выражаются рационально через <math display="inline">t</math>.

'''Пример:''' <math display="inline">\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-x+1}}</math> Здесь <math display="inline">a=1>0, c=1>0, b^2-4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0</math>. Можно использовать 1-ю или 2-ю подстановку Эйлера. Используем 2-ю: <math display="inline">\sqrt{x^2-x+1} = xt + \sqrt{c} = xt + 1</math>. <math display="inline">x^2-x+1 = (xt+1)^2 = x^2t^2 + 2xt + 1</math> <math display="inline">x^2-x = x^2t^2 + 2xt</math> Делим на <math display="inline">x</math> (<math display="inline">x \neq 0</math>): <math display="inline">x-1 = xt^2 + 2t</math> <math display="inline">x - xt^2 = 1+2t \implies x(1-t^2) = 1+2t \implies x = \frac{1+2t}{1-t^2}</math> <math display="inline">dx = \left( \frac{2(1-t^2) - (1+2t)(-2t)}{(1-t^2)^2} \right) dt = \frac{2-2t^2+2t+4t^2}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2t^2+2t+2}{(1-t^2)^2} dt = \frac{2(t^2+t+1)}{(1-t^2)^2} dt</math> <math display="inline">\sqrt{x^2-x+1} = xt+1 = \frac{1+2t}{1-t^2} t + 1 = \frac{t+2t^2 + 1-t^2}{1-t^2} = \frac{t^2+t+1}{1-t^2}</math> Подставляем в интеграл: <math display="inline">\int \frac{1}{x \sqrt{x^2-x+1}} dx = \int \frac{1}{\frac{1+2t}{1-t^2} \cdot \frac{t^2+t+1}{1-t^2}} \cdot \frac{2(t^2+t+1)}{(1-t^2)^2} dt</math> <math display="inline">= \int \frac{(1-t^2)^2}{(1+2t)(t^2+t+1)} \cdot \frac{2(t^2+t+1)}{(1-t^2)^2} dt = \int \frac{2}{1+2t} dt</math> <math display="inline">= \ln|1+2t| + C</math> Возвращаемся к <math display="inline">x</math>. Из <math display="inline">\sqrt{x^2-x+1} = xt+1</math>, получаем <math display="inline">xt = \sqrt{x^2-x+1}-1</math>, т.е. <math display="inline">t = \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{x}</math>. Итоговый ответ: <math display="inline">\ln\left|1 + 2 \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{x}\right| + C = \ln\left|\frac{x+2\sqrt{x^2-x+1}-2}{x}\right| + C</math>.

''(Примечание: Пример в конспекте был <math display="inline">\int \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{x\sqrt{x^2-x+1}} dx</math>. Это несколько другой интеграл, но подстановка та же самая.)''

=== Интегралы вида <math display="inline">\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math> ===

Рассмотрим общий вид интеграла <math display="inline">\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math>. Метод Остроградского (адаптированный для этого типа интегралов) позволяет разложить интеграл на алгебраическую часть и интеграл от простейшей дроби под корнем:

'''Теорема (Метод интегрирования дробей с квадратным корнем):''' Существует представление: <math display="block"> \int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} </math> где <math display="inline">Q_{n-1}(x)</math> - многочлен степени <math display="inline">n-1</math> с неопределенными коэффициентами, и <math display="inline">\lambda</math> - некоторая константа.

'''Нахождение коэффициентов <math display="inline">Q_{n-1}(x)</math> и <math display="inline">\lambda</math>:''' Дифференцируем обе части равенства: <math display="block"> \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = \frac{d}{dx} \left( Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2+bx+c} \right) + \frac{\lambda}{\sqrt{ax^2+bx+c}} </math> <math display="block"> \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = Q'_{n-1}(x) \sqrt{ax^2+bx+c} + Q_{n-1}(x) \frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}} + \frac{\lambda}{\sqrt{ax^2+bx+c}} </math> Умножаем обе части на <math display="inline">\sqrt{ax^2+bx+c}</math>: <math display="block"> P_n(x) = Q'_{n-1}(x) (ax^2+bx+c) + Q_{n-1}(x) \frac{2ax+b}{2} + \lambda </math> Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях <math display="inline">x</math> в левой и правой частях этого тождества, получаем систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена <math display="inline">Q_{n-1}(x)</math> и константы <math display="inline">\lambda</math>.

Оставшийся интеграл <math display="inline">\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math> является табличным (“высокий логарифм” или арксинус в зависимости от знака <math display="inline">a</math>).

'''Общий случай <math display="inline">\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math>:''' Любую рациональную функцию <math display="inline">R(x, y)</math> можно представить в виде: <math display="inline">R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) = R_1(x) \sqrt{ax^2+bx+c} + R_2(x)</math>, где <math display="inline">R_1, R_2</math> - рациональные функции от <math display="inline">x</math>. ''(В конспекте это показано как разложение числителя: <math display="inline">R(x,y) = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}</math>. Умножая числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю (если нужно), можно добиться вида <math display="inline">\frac{P_1(x) + P_2(x)y}{Q_1(x)}</math>, где <math display="inline">y = \sqrt{ax^2+bx+c}</math>.)'' Тогда интеграл сводится к: <math display="block"> I = \int R_1(x) \sqrt{ax^2+bx+c} dx + \int R_2(x) dx </math> <math display="block"> I = \int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx </math> (т.к. <math display="inline">R_1(x) \sqrt{\dots} = \frac{R_1(x) (ax^2+bx+c)}{\sqrt{\dots}}</math>).

Интеграл <math display="inline">\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x) \sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math> раскладывается на сумму интегралов вида: 1. <math display="inline">\int \frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math> (рассмотрено выше, метод Остроградского) 2. <math display="inline">\int \frac{dx}{(x-\alpha)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}</math> (<math display="inline">I_2</math> в конспекте) 3. <math display="inline">\int \frac{(Ax+B) dx}{(x^2+px+q)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}</math> (<math display="inline">I_3</math> в конспекте, где <math display="inline">p^2-4q < 0</math>)

<ul>
<li>'''Интегралы типа <math display="inline">I_2</math>''': Подстановка <math display="inline">t = \frac{1}{x-\alpha}</math> сводит интеграл к типу 1.</li>
<li>'''Интегралы типа <math display="inline">I_3</math>''':
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Если <math display="inline">ax^2+bx+c = \omega (x^2+px+q)</math> (т.е. <math display="inline">b = \omega p</math>, <math display="inline">c = \omega q</math>), то <math display="inline">I_3 = A_1 J_1 + A_2 J_2</math>, где <math display="inline">J_1 = \int \frac{(2x+p) dx}{(x^2+px+q)^{k+1/2}}</math>, <math display="inline">J_2 = \int \frac{dx}{(x^2+px+q)^{k+1/2}}</math>. <math display="inline">J_1</math> берется подстановкой <math display="inline">v=x^2+px+q</math>. <math display="inline">J_2</math> сводится к интегралу от биномиального дифференциала или к табличному. ''(В конспекте упоминается подстановка Абеля <math display="inline">u = ( \sqrt{x^2+px+q} )' = \frac{x+p/2}{\sqrt{x^2+px+q}}</math>)'' б) Если <math display="inline">b \neq \omega p</math> или <math display="inline">c \neq \omega q</math>, используется подстановка <math display="inline">x = \frac{\alpha t + \beta}{t+1}</math>, где <math display="inline">\alpha, \beta</math> подбираются так, чтобы коэффициенты при <math display="inline">t</math> в обоих квадратичных трехчленах (<math display="inline">x^2+px+q</math> и <math display="inline">ax^2+bx+c</math> после подстановки) обратились в нуль. Это приводит к интегралу вида <math display="inline">\int \frac{P(t) dt}{(t^2+\lambda)^k \sqrt{\mu t^2+\nu}}</math>, который далее разбивается на <math display="inline">J_4 = \int \frac{t dt}{(t^2+\lambda)^k \sqrt{\mu t^2+\nu}}</math> и <math display="inline">J_5 = \int \frac{dt}{(t^2+\lambda)^k \sqrt{\mu t^2+\nu}}</math>. <math display="inline">J_4</math> берется подстановкой <math display="inline">u^2 = \mu t^2 + \nu</math>. <math display="inline">J_5</math> подстановкой <math display="inline">v = (\sqrt{\mu t^2+\nu})'</math>.</li></ol>
</li></ul>

<span id="интегрирование-дифференциального-бинома"></span>
== Интегрирование дифференциального бинома ==

'''Определение:''' Интеграл вида <math display="block"> \int x^m (ax^n + b)^p dx </math> где <math display="inline">m, n, p \in \mathbb{Q}</math> - рациональные числа, <math display="inline">a, b \in \mathbb{R}</math>, <math display="inline">a \neq 0, b \neq 0, n \neq 0, p \neq 0</math>. Этот интеграл называется '''интегралом от дифференциального бинома'''.

'''Теорема Чебышёва:''' Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях: 1. <math display="inline">p \in \mathbb{Z}</math> (p - целое). Подстановка: <math display="inline">x = t^q</math>, где <math display="inline">q = \text{НОК}(\text{знаменатель } m, \text{ знаменатель } n)</math>. 2. <math display="inline">\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}</math> (<math display="inline">\frac{m+1}{n}</math> - целое). Подстановка: <math display="inline">ax^n+b = t^s</math>, где <math display="inline">s = \text{знаменатель } p</math>. 3. <math display="inline">\frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}</math> (<math display="inline">\frac{m+1}{n} + p</math> - целое). Подстановка: <math display="inline">a + bx^{-n} = t^s</math> (эквивалентно <math display="inline">ax^n+b = x^n t^s</math>), где <math display="inline">s = \text{знаменатель } p</math>.

'''Пример:''' Рассмотрим пример из конспекта: <math display="inline">\int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}} = \int (1+x^4)^{-1/4} dx</math>. Здесь <math display="inline">m=0, n=4, p=-1/4</math>. <math display="inline">a=1, b=1</math>. Проверяем случаи Чебышёва: 1. <math display="inline">p = -1/4 \notin \mathbb{Z}</math>. 2. <math display="inline">\frac{m+1}{n} = \frac{0+1}{4} = 1/4 \notin \mathbb{Z}</math>. 3. <math display="inline">\frac{m+1}{n} + p = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \in \mathbb{Z}</math>. Подходит третий случай. Подстановка: <math display="inline">1 + x^{-4} = t^4</math>. <math display="inline">x^{-4} = t^4-1 \implies x^4 = \frac{1}{t^4-1}</math>. <math display="inline">x = (t^4-1)^{-1/4}</math>. <math display="inline">dx = -\frac{1}{4} (t^4-1)^{-5/4} \cdot 4t^3 dt = -t^3 (t^4-1)^{-5/4} dt</math>. <math display="inline">1+x^4 = 1 + \frac{1}{t^4-1} = \frac{t^4-1+1}{t^4-1} = \frac{t^4}{t^4-1}</math>. <math display="inline">\sqrt[4]{1+x^4} = \left( \frac{t^4}{t^4-1} \right)^{1/4} = \frac{t}{(t^4-1)^{1/4}}</math>. Интеграл: <math display="inline">I = \int \frac{1}{\frac{t}{(t^4-1)^{1/4}}} \cdot (-t^3 (t^4-1)^{-5/4}) dt = \int \frac{(t^4-1)^{1/4}}{t} (-t^3 (t^4-1)^{-5/4}) dt</math> <math display="inline">I = -\int t^2 (t^4-1)^{-1} dt = -\int \frac{t^2}{(t^2-1)(t^2+1)} dt</math> Получили интеграл от рациональной функции. Раскладываем на простейшие: <math display="inline">\frac{t^2}{(t-1)(t+1)(t^2+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} + \frac{Ct+D}{t^2+1}</math> <math display="inline">A = \frac{1^2}{(1+1)(1^2+1)} = \frac{1}{4}</math> <math display="inline">B = \frac{(-1)^2}{(-1-1)((-1)^2+1)} = \frac{1}{-2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}</math> <math display="inline">t=0 \implies 0 = -A + B + D \implies D = A-B = 1/4 - (-1/4) = 1/2</math>. <math display="inline">t=2 \implies \frac{4}{(1)(3)(5)} = \frac{A}{1} + \frac{B}{3} + \frac{2C+D}{5}</math> <math display="inline">\frac{4}{15} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} + \frac{2C+1/2}{5} = \frac{3-1}{12} + \frac{2C+1/2}{5} = \frac{1}{6} + \frac{2C+1/2}{5}</math> <math display="inline">\frac{4}{15} - \frac{1}{6} = \frac{8-5}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}</math> <math display="inline">\frac{1}{10} = \frac{2C+1/2}{5} \implies \frac{1}{2} = 2C + \frac{1}{2} \implies 2C=0 \implies C=0</math>. <math display="inline">-\int \left( \frac{1/4}{t-1} - \frac{1/4}{t+1} + \frac{1/2}{t^2+1} \right) dt = -\frac{1}{4}\ln|t-1| + \frac{1}{4}\ln|t+1| - \frac{1}{2}\arctan t + C</math> <math display="inline">= \frac{1}{4} \ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right| - \frac{1}{2} \arctan t + C</math>, где <math display="inline">t = \sqrt[4]{1+x^{-4}} = \frac{\sqrt[4]{1+x^4}}{x}</math>.

= TODO: читаемые формулы =

[[Категория:МатАнПрод]]