Просмотр кода страницы МатАнПрод:ВопросыКлк2сем

== Первообразная. Теорема о семействе первообразных функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. ==

'''Определение (Первообразная):'''
Функция <math>F(x)</math> называется '''первообразной''' для функции <math>f(x)</math> на интервале <math>I</math>, если <math>F(x)</math> дифференцируема на <math>I</math> и выполняется равенство:
:<math>F'(x) = f(x)</math> для всех <math>x \in I</math>.

'''Теорема (О семействе первообразных):'''
Если <math>F(x)</math> является первообразной для функции <math>f(x)</math> на интервале <math>I</math>, то любая другая первообразная <math>\Phi(x)</math> для <math>f(x)</math> на том же интервале <math>I</math> имеет вид:
:<math>\Phi(x) = F(x) + C</math>,
где <math>C</math> — произвольная постоянная (<math>C \in \mathbb{R}</math>).

'''Определение (Неопределенный интеграл):'''
Совокупность всех первообразных <math>F(x) + C</math> для функции <math>f(x)</math> на интервале <math>I</math> называется '''неопределенным интегралом''' от функции <math>f(x)</math> и обозначается символом <math>\int f(x) \, dx</math>.
:<math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math>, где <math>F'(x) = f(x)</math>.

'''Свойства неопределенного интеграла:'''
# Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
#: <math>\left( \int f(x) \, dx \right)' = (F(x) + C)' = F'(x) = f(x)</math>
# Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
#: <math>d \left( \int f(x) \, dx \right) = \left( \int f(x) \, dx \right)' dx = f(x) \, dx</math>
# Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
#: <math>\int dF(x) = \int F'(x) \, dx = \int f(x) \, dx = F(x) + C</math>
# '''Линейность:''' Если <math>\int f(x) \, dx</math> и <math>\int g(x) \, dx</math> существуют, то для любых констант <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math> существует <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx</math>, и
#: <math>\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx</math>

'''Таблица основных формул интегрирования:'''
* <math>\int 0 \, dx = C</math>
* <math>\int 1 \, dx = x + C</math>
* <math>\int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C</math>   (<math>\alpha \neq -1</math>)
* <math>\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C</math>
* <math>\int e^x \, dx = e^x + C</math>
* <math>\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C</math>   (<math>a > 0, a \neq 1</math>)
* <math>\int \cos x \, dx = \sin x + C</math>
* <math>\int \sin x \, dx = -\cos x + C</math>
* <math>\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C</math>
* <math>\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C</math>
* <math>\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \arcsin\frac{x}{a} + C = -\arccos\frac{x}{a} + C_1</math>   (<math>a > 0</math>)
* <math>\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C = -\frac{1}{a} \text{arccot}\frac{x}{a} + C_1</math>   (<math>a \neq 0</math>)
* <math>\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C</math>   (длинный логарифм)
* <math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
* <math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math>
* <math>\int \frac{1}{\cosh^2 x} \, dx = \tanh x + C</math>
* <math>\int \frac{1}{\sinh^2 x} \, dx = -\coth x + C</math>

== Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. ==

Пусть требуется вычислить <math>\int f(x) \, dx</math>.

'''Теорема (Формула замены переменной):'''
Пусть функция <math>x = \varphi(t)</math> имеет непрерывную производную <math>\varphi'(t)</math>, и существует обратная функция <math>t = \varphi^{-1}(x)</math>. Пусть существует интеграл <math>\int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt = G(t) + C</math>. Тогда существует <math>\int f(x) \, dx</math> и выполняется равенство:
:<math>\int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt \Bigg|_{t = \varphi^{-1}(x)} = G(\varphi^{-1}(x)) + C</math>

'''Идея метода:'''
1. Вводим новую переменную <math>t</math> через подстановку <math>x = \varphi(t)</math> (или <math>t = \psi(x)</math>).
2. Находим дифференциал <math>dx = \varphi'(t) \, dt</math>.
3. Подставляем <math>x</math> и <math>dx</math> в исходный интеграл, выражая его через <math>t</math>: <math>\int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt</math>.
4. Вычисляем полученный интеграл по переменной <math>t</math>.
5. Возвращаемся к исходной переменной <math>x</math>, используя обратную замену <math>t = \varphi^{-1}(x)</math>.

'''Альтернативная форма (подстановка вида <math>t = \psi(x)</math>):'''
Если <math>t = \psi(x)</math>, то <math>dt = \psi'(x) \, dx</math>. Если подынтегральное выражение можно представить как <math>g(\psi(x)) \psi'(x) \, dx</math>, то:
:<math>\int g(\psi(x)) \psi'(x) \, dx = \int g(t) \, dt \Bigg|_{t = \psi(x)}</math>


'''Метод интегрирования по частям'''

'''Теорема (Формула интегрирования по частям):'''
Пусть функции <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> имеют непрерывные производные <math>u'(x)</math> и <math>v'(x)</math> на некотором интервале. Тогда справедливо равенство:
:<math>\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx</math>
или, в дифференциальной форме (<math>dv = v'(x) \, dx</math>, <math>du = u'(x) \, dx</math>):
:<math>\int u \, dv = uv - \int v \, du</math>

'''Вывод формулы:'''
Формула следует из правила дифференцирования произведения двух функций:
:<math>(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)</math>
Интегрируя обе части по <math>x</math>, получаем:
:<math>\int (u(x) v(x))' \, dx = \int u'(x) v(x) \, dx + \int u(x) v'(x) \, dx</math>
По определению неопределенного интеграла, <math>\int (uv)' \, dx = uv + C</math>. Учитывая, что интеграл в правой части также вычисляется с точностью до константы, её можно опустить на этом шаге:
:<math>uv = \int v \, du + \int u \, dv</math>
Перенося <math>\int v \, du</math> в другую часть равенства, получаем формулу интегрирования по частям:
:<math>\int u \, dv = uv - \int v \, du</math>

'''Идея метода:'''
Представить подынтегральное выражение <math>f(x) \, dx</math> в виде <math>u \, dv</math> так, чтобы интеграл <math>\int v \, du</math> был проще исходного или сводился к нему.

== Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. ==

'''Определение (Рациональная функция):'''
Рациональная функция (или дробь) — это функция вида <math>R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}</math>, где <math>P_n(x)</math> и <math>Q_m(x)</math> — многочлены степеней <math>n</math> и <math>m</math> соответственно.

'''Шаг 1: Выделение целой части (если дробь неправильная)'''
Если <math>n = \deg(P_n) \ge m = \deg(Q_m)</math> (дробь неправильная), то делим <math>P_n(x)</math> на <math>Q_m(x)</math> "уголком":
:<math>\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = M_{n-m}(x) + \frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math>,
где <math>M_{n-m}(x)</math> — многочлен (целая часть), а <math>\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> — правильная рациональная дробь (<math>k = \deg(N_k) < m</math>).
Интегрирование сводится к:
:<math>\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \, dx = \int M_{n-m}(x) \, dx + \int \frac{N_k(x)}{Q_m(x)} \, dx</math>
Интеграл от многочлена <math>M_{n-m}(x)</math> вычисляется просто. Основная задача — интегрирование правильной рациональной дроби.

'''Шаг 2: Разложение правильной рациональной дроби на простейшие'''
Пусть дана правильная дробь <math>\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> (<math>k < m</math>).

1.  '''Факторизация знаменателя:''' Разложить знаменатель <math>Q_m(x)</math> на неприводимые множители над <math>\mathbb{R}</math>:
    :<math>Q_m(x) = c \cdot (x-x_1)^{k_1} \cdots (x-x_p)^{k_p} \cdot (x^2+p_1x+q_1)^{l_1} \cdots (x^2+p_sx+q_s)^{l_s}</math>
    где <math>x_i</math> — действительные корни кратности <math>k_i</math>, <math>p_j^2 - 4q_j < 0</math>, и <math>\sum k_i + 2 \sum l_j = m</math>. Константу <math>c</math> можно вынести за знак интеграла.

2.  '''Теорема о разложении:''' Любая правильная рациональная дробь <math>\frac{N_k(x)}{Q_m(x)}</math> (с <math>c=1</math>) может быть '''единственным''' образом представлена в виде суммы простейших дробей:
    :<math>\frac{N_k(x)}{Q_m(x)} = \sum_{i=1}^{p} \left( \sum_{r=1}^{k_i} \frac{A_{i,r}}{(x-x_i)^r} \right) + \sum_{j=1}^{s} \left( \sum_{t=1}^{l_j} \frac{B_{j,t} x + C_{j,t}}{(x^2+p_j x+q_j)^t} \right)</math>
    где <math>A_{i,r}, B_{j,t}, C_{j,t} \in \mathbb{R}</math> — неопределенные коэффициенты.

3.  '''Нахождение коэффициентов:''' Коэффициенты <math>A, B, C</math> находятся методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений (подстановкой удобных значений <math>x</math>, включая корни знаменателя).

'''Шаг 3: Интегрирование простейших дробей'''

*   '''Тип I:''' <math>\int \frac{A}{x-a} \, dx = A \ln|x-a| + C</math>

*   '''Тип II:''' (<math>k \ge 2</math>)
    :<math>\int \frac{A}{(x-a)^k} \, dx = A \int (x-a)^{-k} \, d(x-a) = \frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}} + C</math>

*   '''Тип III:''' (<math>p^2-4q < 0</math>)
    :<math>\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q} \, dx = \int \frac{\frac{B}{2}(2x+p) + (C - \frac{Bp}{2})}{x^2+px+q} \, dx</math>
    :<math>= \frac{B}{2} \int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} + (C - \frac{Bp}{2}) \int \frac{dx}{(x+\frac{p}{2})^2 + (q-\frac{p^2}{4})} </math>
    :<math>= \frac{B}{2} \ln(x^2+px+q) + \frac{C - Bp/2}{\sqrt{q-p^2/4}} \arctan\left(\frac{x+p/2}{\sqrt{q-p^2/4}}\right) + C_1</math> (знаменатель <math>x^2+px+q > 0</math>)

*   '''Тип IV:''' (<math>p^2-4q < 0, l \ge 2</math>)
    :<math>\int \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^l} \, dx = \int \frac{\frac{B}{2}(2x+p) + (C - \frac{Bp}{2})}{(x^2+px+q)^l} \, dx</math>
    :<math>= \frac{B}{2} \int (x^2+px+q)^{-l} \, d(x^2+px+q) + (C - \frac{Bp}{2}) \int \frac{dx}{((x+\frac{p}{2})^2 + a^2)^l}</math>   (где <math>a^2=q-p^2/4</math>)
    :<math>= \frac{B}{2(1-l)(x^2+px+q)^{l-1}} + (C - \frac{Bp}{2}) I_l</math>
    :Интеграл <math>I_l = \int \frac{dt}{(t^2+a^2)^l}</math> (где <math>t=x+p/2</math>) вычисляется по рекуррентной формуле:
    :<math>I_l = \frac{1}{2a^2(l-1)} \frac{t}{(t^2+a^2)^{l-1}} + \frac{2l-3}{2a^2(l-1)} I_{l-1}</math>, сводящей его к <math>I_1 = \frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})</math>.

'''Вывод:''' Интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции: многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

== Интегрирование иррациональных функций. ==

Здесь <math>R(\cdot, \cdot)</math> обозначает рациональную функцию своих аргументов.

'''1. Интегралы вида <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r_1}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r_n}\right) dx</math>'''
*   '''Условие:''' <math>r_1, \dots, r_n \in \mathbb{Q}</math> (рациональные), <math>a,b,c,d \in \mathbb{R}</math>, <math>ad-bc \neq 0</math>.
*   '''Метод:''' Рационализация с помощью подстановки.
    1. Найти <math>h = \text{НОК}(\text{знаменатели } r_1, \dots, r_n)</math>.
    2. Использовать подстановку: <math>t^h = \frac{ax+b}{cx+d}</math>.
    3. Выразить <math>x</math> и <math>dx</math> через <math>t</math> рационально. Все дробные степени <math>\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{r_i}</math> станут целыми степенями <math>t</math>.
    4. Интеграл сводится к <math>\int R_1(t) \, dt</math>, где <math>R_1</math> — рациональная функция.

'''2. Интегралы вида <math>\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math>'''
*   '''Условие:''' <math>a, b, c \in \mathbb{R}</math>, <math>a \neq 0</math>, <math>b^2-4ac \neq 0</math>.
*   '''Методы:'''
    *   '''Подстановки Эйлера:''' Рационализируют подынтегральную функцию.
        1.  Если <math>a > 0</math>: <math>\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a} x + t</math>.
        2.  Если <math>c > 0</math>: <math>\sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c}</math>.
        3.  Если <math>ax^2+bx+c</math> имеет действительные корни <math>x_1, x_2</math> (<math>b^2-4ac > 0</math>): <math>\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x-x_1)</math> (или <math>t(x-x_2)</math>).
        Все подстановки приводят к интегралу от рациональной функции <math>t</math>.
    *   '''Метод Остроградского (для частного случая):''' Для интеграла вида <math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math> существует разложение:
        :<math>\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx = Q_{n-1}(x) \sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>
        где <math>Q_{n-1}(x)</math> — многочлен степени <math>n-1</math> с неопределенными коэффициентами, <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> — константа. Коэффициенты находятся дифференцированием и приравниванием коэффициентов. Оставшийся интеграл — табличный.
    *   '''Общий случай:''' Интеграл <math>\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx</math> можно свести к сумме интеграла от рациональной функции и интеграла вида <math>\int \frac{P(x)}{Q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math>. Последний, в свою очередь, раскладывается на сумму интегралов вида:
        * <math>\int \frac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx</math> (берется методом Остроградского).
        * <math>\int \frac{dx}{(x-\alpha)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}</math> (сводится к предыдущему типу подстановкой <math>t = \frac{1}{x-\alpha}</math>).
        * <math>\int \frac{(Ax+B) dx}{(x^2+px+q)^k \sqrt{ax^2+bx+c}}</math> (сводится более сложными подстановками, например, Абеля или дробно-линейной).

'''3. Интегралы от дифференциального бинома <math>\int x^m (ax^n + b)^p dx</math>'''
*   '''Условие:''' <math>m, n, p \in \mathbb{Q}</math>; <math>a, b \in \mathbb{R}</math>; <math>a, b, n, p \neq 0</math>.
*   '''Теорема Чебышёва:''' Интеграл выражается через элементарные функции '''только''' в трех случаях:
    1.  <math>p \in \mathbb{Z}</math> (p — целое).
        Подстановка: <math>x = t^q</math>, где <math>q = \text{НОК}(\text{знаменатель } m, \text{ знаменатель } n)</math>.
    2.  <math>\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}</math> (целое).
        Подстановка: <math>ax^n+b = t^s</math>, где <math>s = \text{знаменатель } p</math>.
    3.  <math>\frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}</math> (целое).
        Подстановка: <math>a + bx^{-n} = t^s</math> (или <math>ax^n+b=x^n t^s</math>), где <math>s = \text{знаменатель } p</math>.
    Во всех трех случаях интеграл сводится к интегралу от рациональной функции <math>t</math>.

== Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. ==

Здесь <math>R(u, v)</math> обозначает рациональную функцию своих аргументов.

'''1. Интегралы вида <math>\int R(\sin x, \cos x) \, dx</math>'''

*   '''Универсальная тригонометрическая подстановка:'''
    Всегда работает, но может приводить к сложным вычислениям.
    :<math>t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)</math>
    Тогда:
    :<math>\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2 dt}{1+t^2}</math>
    Интеграл сводится к <math>\int R_1(t) \, dt</math>, где <math>R_1</math> — рациональная функция <math>t</math>.

*   '''Частные случаи (упрощающие подстановки):'''
    1.  Если <math>R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math> (нечетность по <math>\sin x</math>):
        Подстановка: <math>t = \cos x \implies dt = -\sin x \, dx</math>.
    2.  Если <math>R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math> (нечетность по <math>\cos x</math>):
        Подстановка: <math>t = \sin x \implies dt = \cos x \, dx</math>.
    3.  Если <math>R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)</math> (четность по <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> одновременно):
        Подстановка: <math>t = \tan x \implies dt = \frac{dx}{\cos^2 x} \implies dx = \frac{dt}{1+t^2}</math>.
        :<math>\sin x = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}</math> (При подстановке в <math>R</math> корни обычно сокращаются).

'''2. Интегралы вида <math>\int \sin^m x \cos^n x \, dx</math>, где <math>m, n \in \mathbb{Z}</math>'''

*   Если хотя бы один из показателей <math>m</math> или <math>n</math> — '''нечетное положительное''' число:
    *   Если <math>m</math> нечетно: отщепляем <math>\sin x \, dx</math> и делаем замену <math>t = \cos x</math>.
    *   Если <math>n</math> нечетно: отщепляем <math>\cos x \, dx</math> и делаем замену <math>t = \sin x</math>.
*   Если оба показателя <math>m</math> и <math>n</math> — '''четные неотрицательные''' числа:
    Используем формулы понижения степени:
    :<math>\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \quad \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}</math>.
*   Если <math>m+n</math> — '''четное отрицательное''' число (или оба показателя отрицательные):
    Используем подстановку <math>t = \tan x</math> (или <math>t = \cot x</math>). Это случай (3) из пункта 1.

'''3. Интегралы вида <math>\int \sin(\alpha x) \sin(\beta x) \, dx</math>, <math>\int \cos(\alpha x) \cos(\beta x) \, dx</math>, <math>\int \sin(\alpha x) \cos(\beta x) \, dx</math>'''

*   Используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму/разность:
    *   <math>\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]</math>
    *   <math>\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]</math>
    *   <math>\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A-B) + \sin(A+B)]</math>

'''4. Интегралы вида <math>\int R(\sinh x, \cosh x) \, dx</math>'''

*   Интегрируются аналогично тригонометрическим функциям.
*   Универсальная подстановка: <math>t = \tanh(x/2)</math>.
    :<math>\sinh x = \frac{2t}{1-t^2}, \quad \cosh x = \frac{1+t^2}{1-t^2}, \quad dx = \frac{2 dt}{1-t^2}</math>.
*   Частные случаи (нечетность/четность) и интегрирование произведений степеней <math>\sinh^m x \cosh^n x</math> аналогичны тригонометрическим, но с использованием гиперболических тождеств (например, <math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1</math>).

== Определенный интеграл. Эквивалентность различных определений. Свойства линейности и аддитивности интеграла Римана. Теорема о среднем. ==

Пусть <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math>.
*   '''Разбиение''' <math>\tau</math> отрезка <math>[a, b]</math>: <math>a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b</math>.
*   '''Частичный отрезок:''' <math>\Delta_i = [x_{i-1}, x_i]</math>.
*   '''Длина отрезка:''' <math>\Delta x_i = x_i - x_{i-1}</math>.
*   '''Ранг (мелкость) разбиения:''' <math>\lambda(\tau) = \max_{i=1,\dots,n} \Delta x_i</math>.
*   '''Отмеченные точки:''' <math>\xi = \{\xi_1, \dots, \xi_n\}</math>, где <math>\xi_i \in \Delta_i</math>.
*   '''Оснащенное разбиение:''' <math>(\tau, \xi)</math>.
*   '''Интегральная сумма Римана:''' <math>\sigma_\tau(f, \xi) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i</math>.

'''Определение (Интеграл Римана через <math>\epsilon-\delta</math>):'''
Число <math>I</math> называется '''определенным интегралом''' (интегралом Римана) функции <math>f</math> на <math>[a, b]</math>, если
:<math>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (\tau, \xi): \quad \lambda(\tau) < \delta \implies |\sigma_\tau(f, \xi) - I| < \epsilon</math>.
Обозначение: <math>I = \int_a^b f(x) \, dx</math>. Функция <math>f</math> называется '''интегрируемой по Риману''' на <math>[a, b]</math> (обозначение <math>f \in R[a, b]</math>).

'''Определение (Интеграл Римана через последовательности):'''
Число <math>I</math> называется пределом интегральных сумм <math>\sigma_\tau(f, \xi)</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>, если для '''любой''' последовательности оснащенных разбиений <math>(\tau^k, \xi^k)</math> такой, что <math>\lambda(\tau^k) \xrightarrow{k \to \infty} 0</math>, выполняется:
:<math>\lim_{k \to \infty} \sigma_{\tau^k}(f, \xi^k) = I</math>.

'''Теорема (Эквивалентность определений):'''
Определение интеграла Римана через <math>\epsilon-\delta</math> эквивалентно определению через предел последовательностей интегральных сумм.

'''Свойства интеграла Римана'''

'''Теорема (Линейность):'''
Если <math>f, g \in R[a, b]</math> и <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>, то <math>(\alpha f + \beta g) \in R[a, b]</math> и
:<math>\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx</math>.
''(Док-во: следует из линейности сумм <math>\sigma_\tau</math> и линейности предела.)''

'''Теорема (Аддитивность по отрезку интегрирования):'''
1. Если <math>f \in R[a, b]</math> и <math>c \in (a, b)</math>, то <math>f \in R[a, c]</math> и <math>f \in R[c, b]</math>.
2. Если <math>f \in R[a, c]</math> и <math>f \in R[c, b]</math>, то <math>f \in R[a, b]</math> и
   :<math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx</math>.
   ''(Используя соглашения <math>\int_a^a f(x) \, dx = 0</math> и <math>\int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx</math>, формула верна для любого расположения <math>a, b, c</math>.)''

'''Теорема (О среднем):'''
Пусть:
1. <math>f, g \in R[a, b]</math>.
2. <math>g(x)</math> знакопостоянна на <math>[a, b]</math> (т.е. <math>\forall x \in [a, b]: g(x) \ge 0</math> или <math>\forall x \in [a, b]: g(x) \le 0</math>).
3. <math>m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>, <math>M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>.
Тогда <math>\exists \mu \in [m, M]</math> такое, что:
:<math>\int_a^b f(x) g(x) \, dx = \mu \int_a^b g(x) \, dx</math>.

'''Дополнительно:''' Если <math>f \in C[a, b]</math> (непрерывна), то <math>\exists \xi \in [a, b]</math> такое, что <math>\mu = f(\xi)</math>:
:<math>\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx</math>.

'''Частный случай (при <math>g(x) = 1</math>):'''
* Если <math>f \in R[a, b]</math>, то <math>\exists \mu \in [m, M]: \int_a^b f(x) \, dx = \mu (b-a)</math>.
* Если <math>f \in C[a, b]</math>, то <math>\exists \xi \in [a, b]: \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi) (b-a)</math>.
  Величина <math>f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx</math> называется '''средним значением''' функции <math>f</math> на <math>[a, b]</math>.

== Определенный интеграл. Свойства об оценках интеграла Римана. Теорема о среднем. ==

[https://вики.мадока.дети/mediawiki/index.php/МатАнПрод:ВопросыКлк2сем#Определенный_интеграл._Эквивалентность_различных_определений._Свойства_линейности_и_аддитивности_интеграла_Римана._Теорема_о_среднем. Интеграл]

Предполагается <math>a \le b</math> и функции интегрируемы на <math>[a, b]</math>.

'''1. Монотонность интеграла:'''
Если <math>f, g \in R[a, b]</math> и <math>f(x) \le g(x)</math> для всех <math>x \in [a, b]</math>, то
:<math>\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx</math>.
''(Док-во: из <math>f(\xi_i) \le g(\xi_i)</math> и <math>\Delta x_i \ge 0</math> следует <math>\sigma_\tau(f, \xi) \le \sigma_\tau(g, \xi)</math>, переходим к пределу при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>.)''

'''Следствие 1 (Неотрицательность):'''
Если <math>f(x) \ge 0</math> на <math>[a, b]</math>, то <math>\int_a^b f(x) \, dx \ge 0</math>.
''(Следует из монотонности при <math>g(x)=0</math> или <math>g(x)=f(x)</math> и <math>f(x)=0</math>.)''

'''Следствие 2 (Оценка интеграла константами):'''
Если <math>f \in R[a, b]</math> и <math>m \le f(x) \le M</math> для всех <math>x \in [a, b]</math>, то
:<math>m (b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M (b-a)</math>.
''(Док-во: интегрируем неравенство <math>m \le f(x) \le M</math>, используя <math>\int_a^b m \, dx = m(b-a)</math> и <math>\int_a^b M \, dx = M(b-a)</math>.)''
Здесь <math>m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math> и <math>M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>.

'''2. Интегрирование неравенства с модулем:'''
Если <math>f \in R[a, b]</math>, то <math>|f| \in R[a, b]</math> и
:<math>\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx</math>.
''(Док-во 1: из <math>-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|</math> и монотонности интеграла.)''
''(Док-во 2: из <math>|\sum f(\xi_i) \Delta x_i| \le \sum |f(\xi_i)| \Delta x_i</math> и перехода к пределу.)''

'''Теорема (О среднем):'''
Пусть:
1. <math>f, g \in R[a, b]</math>.
2. <math>g(x)</math> знакопостоянна на <math>[a, b]</math> (т.е. <math>\forall x \in [a, b]: g(x) \ge 0</math> или <math>\forall x \in [a, b]: g(x) \le 0</math>).
3. <math>m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>, <math>M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>.
Тогда <math>\exists \mu \in [m, M]</math> такое, что:
:<math>\int_a^b f(x) g(x) \, dx = \mu \int_a^b g(x) \, dx</math>.

'''Дополнительно:''' Если <math>f \in C[a, b]</math> (непрерывна), то по теореме о промежуточном значении <math>\exists \xi \in [a, b]</math> такое, что <math>\mu = f(\xi)</math>:
:<math>\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx</math>.

'''Частный случай (при <math>g(x) = 1</math>):'''
* Если <math>f \in R[a, b]</math>, то <math>\exists \mu \in [m, M]: \int_a^b f(x) \, dx = \mu (b-a)</math>.
* Если <math>f \in C[a, b]</math>, то <math>\exists \xi \in [a, b]: \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi) (b-a)</math>.
  Величина <math>f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx</math> называется '''средним значением''' функции <math>f</math> на <math>[a, b]</math>.

== Суммы Дарбу и их свойства. ==

Пусть <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> и <math>\tau = \{a=x_0 < x_1 < \dots < x_n=b\}</math> — разбиение отрезка <math>[a, b]</math>. Обозначим <math>\Delta_i = [x_{i-1}, x_i]</math> и <math>\Delta x_i = x_i - x_{i-1}</math>.

'''Определения:'''
*   <math>m_i = \inf_{x \in \Delta_i} f(x)</math> — точная нижняя грань <math>f</math> на <math>\Delta_i</math>.
*   <math>M_i = \sup_{x \in \Delta_i} f(x)</math> — точная верхняя грань <math>f</math> на <math>\Delta_i</math>.
    ''(Для существования конечных <math>m_i, M_i</math> требуется ограниченность <math>f</math> на <math>[a,b]</math>.)''
*   '''Нижняя сумма Дарбу:'''
    :<math>s_\tau(f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i</math>
*   '''Верхняя сумма Дарбу:'''
    :<math>S_\tau(f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i</math>

'''Свойства сумм Дарбу:'''

1.  '''Связь с интегральной суммой Римана:''' Для любого оснащенного разбиения <math>(\tau, \xi)</math> верно:
    :<math>s_\tau(f) \le \sigma_\tau(f, \xi) \le S_\tau(f)</math>

2.  '''Суммы Дарбу как точные грани интегральных сумм:''' При фиксированном разбиении <math>\tau</math>:
    :<math>s_\tau(f) = \inf_{\xi} \sigma_\tau(f, \xi)</math>
    :<math>S_\tau(f) = \sup_{\xi} \sigma_\tau(f, \xi)</math>
    ''(Супремум и инфимум берутся по всем возможным наборам отмеченных точек <math>\xi</math>.)''

3.  '''Необходимость ограниченности:''' Если <math>f</math> не ограничена на <math>[a, b]</math>, то для любого разбиения <math>\tau</math> хотя бы одна из сумм Дарбу (<math>S_\tau(f)</math> или <math>s_\tau(f)</math>) будет бесконечной (<math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>).

4.  '''Монотонность при измельчении разбиения:''' Пусть <math>\tau_2</math> — измельчение <math>\tau_1</math> (т.е., <math>\tau_2</math> содержит все точки <math>\tau_1</math>, <math>\tau_2 \supset \tau_1</math>). Тогда:
    :<math>s_{\tau_1}(f) \le s_{\tau_2}(f) \le S_{\tau_2}(f) \le S_{\tau_1}(f)</math>
    ''(При добавлении новых точек нижняя сумма не убывает, верхняя — не возрастает.)''

5.  '''Сравнение любых сумм Дарбу:''' Для любых двух разбиений <math>\tau'</math> и <math>\tau''</math> отрезка <math>[a, b]</math> выполняется:
    :<math>s_{\tau'}(f) \le S_{\tau''}(f)</math>
    ''(Любая нижняя сумма не превосходит любую верхнюю сумму.)''

6.  '''Нижний и верхний интегралы Дарбу:'''
    *   Нижний интеграл Дарбу: <math>I_* = \sup_{\tau} s_\tau(f)</math> (супремум по всем разбиениям <math>\tau</math>)
    *   Верхний интеграл Дарбу: <math>I^* = \inf_{\tau} S_\tau(f)</math> (инфимум по всем разбиениям <math>\tau</math>)
    *   Для любого <math>\tau</math>: <math>s_\tau(f) \le I_* \le I^* \le S_\tau(f)</math>.

== Необходимое условие интегрируемости функции. Критерий интегрируемости функции. ==

'''Теорема:'''
Если функция <math>f</math> интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> (т.е., <math>f \in R[a, b]</math>), то <math>f</math> '''ограничена''' на <math>[a, b]</math>.
:<math>f \in R[a, b] \implies \exists C > 0 : \forall x \in [a, b], |f(x)| \le C</math>.

'''Идея доказательства:'''
Предполагаем, что <math>f</math> интегрируема, но не ограничена. Тогда для любого разбиения <math>\tau</math> найдется отрезок <math>\Delta_k</math>, на котором <math>f</math> не ограничена. На этом отрезке можно выбрать отмеченные точки <math>\xi_k</math> так, чтобы значение <math>f(\xi_k)</math> было сколь угодно большим (по модулю). Это позволяет построить интегральные суммы <math>\sigma_\tau(f, \xi)</math>, которые не стремятся к конечному пределу <math>I = \int_a^b f(x) \, dx</math>, что противоречит определению интегрируемости. Следовательно, <math>f</math> должна быть ограничена.

'''Критерий интегрируемости функции по Риману (Критерий Дарбу)'''

'''Теорема:'''
'''Ограниченная''' функция <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> '''тогда и только тогда, когда''' выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1.  '''В терминах сумм Дарбу:''' Предел разности верхней и нижней сумм Дарбу равен нулю при стремлении ранга разбиения к нулю:
    :<math>\lim_{\lambda(\tau) \to 0} (S_\tau(f) - s_\tau(f)) = 0</math>
    Или, в <math>\epsilon-\delta</math> форме:
    :<math>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall \tau: \quad \lambda(\tau) < \delta \implies S_\tau(f) - s_\tau(f) < \epsilon</math>.

2.  '''В терминах интегралов Дарбу:''' Нижний интеграл Дарбу равен верхнему интегралу Дарбу:
    :<math>I_* = I^*</math>, где <math>I_* = \sup_{\tau} s_\tau(f)</math> и <math>I^* = \inf_{\tau} S_\tau(f)</math>.
    В этом случае <math>\int_a^b f(x) \, dx = I_* = I^*</math>.

3.  '''В терминах колебаний:'''
    Обозначим <math>\omega(f, \Delta_i) = M_i - m_i = \sup_{x \in \Delta_i} f(x) - \inf_{x \in \Delta_i} f(x)</math> (колебание <math>f</math> на <math>\Delta_i</math>). Тогда:
    :<math>\lim_{\lambda(\tau) \to 0} \sum_{i=1}^{n} \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i = 0</math>
    Или, в <math>\epsilon-\delta</math> форме:
    :<math>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall \tau: \quad \lambda(\tau) < \delta \implies \sum_{i=1}^{n} \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i < \epsilon</math>.

'''Идея доказательства (<math>\Rightarrow</math> Необходимость):''' Если <math>f \in R[a,b]</math>, то <math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta</math>, что для <math>\lambda(\tau) < \delta</math>, <math>|\sigma_\tau(f, \xi) - I| < \epsilon/3</math>. Отсюда <math>S_\tau(f) \le I + \epsilon/3</math> и <math>s_\tau(f) \ge I - \epsilon/3</math>. Вычитая, получаем <math>S_\tau(f) - s_\tau(f) \le 2\epsilon/3 < \epsilon</math>.
'''Идея доказательства (<math>\Leftarrow</math> Достаточность):''' Если <math>\lim (S_\tau - s_\tau) = 0</math>, то <math>I_* = I^* = I</math>. Из <math>s_\tau(f) \le \sigma_\tau(f, \xi) \le S_\tau(f)</math> и <math>s_\tau(f) \le I \le S_\tau(f)</math> следует <math>|\sigma_\tau(f, \xi) - I| \le S_\tau(f) - s_\tau(f)</math>. Так как правая часть стремится к 0, то <math>\sigma_\tau(f, \xi) \to I</math>, значит <math>f \in R[a,b]</math>.

== Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной и кусочно-непрерывной функции. ==

Напомним, что функция <math>f</math> интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> (<math>f \in R[a, b]</math>) если существует конечный предел интегральных сумм <math>\lim_{\lambda(\tau) \to 0} \sigma_\tau(f, \xi) = I</math>.

'''Необходимое условие:''' Если <math>f \in R[a, b]</math>, то <math>f</math> ограничена на <math>[a, b]</math>.

'''Критерий Дарбу (в терминах колебания):'''
<math>f \in R[a, b] \iff \lim_{\lambda(\tau) \to 0} \sum_{i=1}^{n} \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i = 0</math>,
где <math>\omega(f, \Delta_i) = \sup_{x \in \Delta_i} f(x) - \inf_{x \in \Delta_i} f(x)</math> — колебание функции <math>f</math> на отрезке <math>\Delta_i</math>.

---
'''Теорема 1: Интегрируемость непрерывных функций'''
Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math> (<math>f \in C[a, b]</math>), то она интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> (<math>f \in R[a, b]</math>).

'''Доказательство (идея):'''
1.  Если <math>f \in C[a, b]</math>, то <math>f</math> равномерно непрерывна на <math>[a, b]</math> (Теорема Кантора).
2.  <math>\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x', x'' \in [a, b]: |x' - x''| < \delta \implies |f(x') - f(x'')| < \frac{\epsilon}{b-a}</math>.
3.  Возьмем разбиение <math>\tau</math> с рангом <math>\lambda(\tau) < \delta</math>. Тогда для любого <math>\Delta_i</math>, его длина <math>\Delta x_i < \delta</math>.
4.  Колебание <math>\omega(f, \Delta_i) = \sup_{\Delta_i} f - \inf_{\Delta_i} f = f(x'_i) - f(x''_i)</math> для некоторых <math>x'_i, x''_i \in \Delta_i</math> (т.к. <math>f</math> непрерывна на <math>\Delta_i</math>).
5.  Поскольку <math>|x'_i - x''_i| < \delta</math>, то <math>\omega(f, \Delta_i) = |f(x'_i) - f(x''_i)| < \frac{\epsilon}{b-a}</math>.
6.  Оцениваем сумму из критерия Дарбу:
    :<math>\sum_{i=1}^{n} \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i < \sum_{i=1}^{n} \frac{\epsilon}{b-a} \Delta x_i = \frac{\epsilon}{b-a} (b-a) = \epsilon</math>.
7.  Так как <math>\sum \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i < \epsilon</math> при <math>\lambda(\tau) < \delta</math>, по критерию Дарбу <math>f \in R[a, b]</math>.

---
'''Определение (Кусочно-непрерывная функция, КНФ):'''
Функция <math>f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> называется '''кусочно-непрерывной''' на <math>[a, b]</math>, если:
1. Существует конечное разбиение <math>a=c_0 < c_1 < \dots < c_m=b</math>.
2. На каждом интервале <math>(c_{i-1}, c_i)</math> функция <math>f</math> непрерывна.
3. В каждой точке <math>c_i</math> (<math>i=0, \dots, m</math>) существуют конечные односторонние пределы <math>f(c_i+0)</math> (для <math>i<m</math>) и <math>f(c_i-0)</math> (для <math>i>0</math>).
   (Т.е. все точки разрыва - это точки разрыва '''I рода''').

'''Теорема 2: Интегрируемость кусочно-непрерывных функций'''
Если функция <math>f</math> кусочно-непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math>, то она интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> (<math>f \in R[a, b]</math>).

'''Доказательство (идея):'''
1.  '''Ограниченность:''' КНФ ограничена на <math>[a, b]</math>, так как она непрерывна на интервалах <math>(c_{i-1}, c_i)</math> и имеет конечные пределы в точках разрыва <math>c_i</math>.
2.  '''Вспомогательная функция:''' Рассмотрим функцию <math>\tilde{f}(x)</math>, которая совпадает с <math>f(x)</math> во всех точках непрерывности <math>x \in (c_{i-1}, c_i)</math>. В точках <math>c_i</math> доопределим <math>\tilde{f}(c_i)</math> любыми значениями (например, <math>\tilde{f}(c_i) = f(c_i+0)</math> или <math>0</math>).
3.  '''Интегрируемость <math>\tilde{f}</math> на подынтервалах:''' На каждом замкнутом отрезке <math>[c_{i-1}, c_i]</math> функция <math>\tilde{f}</math> может быть доопределена в концах <math>c_{i-1}, c_i</math> так, чтобы стать непрерывной на этом отрезке (например, <math>\tilde{f}(c_{i-1}) = f(c_{i-1}+0)</math>, <math>\tilde{f}(c_i) = f(c_i-0)</math>). Такая доопределенная функция <math>\tilde{f}_i</math> непрерывна на <math>[c_{i-1}, c_i]</math>, следовательно, <math>\tilde{f}_i \in R[c_{i-1}, c_i]</math>.
4.  '''Интегрируемость <math>\tilde{f}</math> на <math>[a, b]</math>:''' По свойству аддитивности, если функция интегрируема на частях <math>[c_{i-1}, c_i]</math>, то она интегрируема и на всем отрезке <math>[a, b]</math>. Таким образом, <math>\tilde{f} \in R[a, b]</math>.
5.  '''Связь <math>f</math> и <math>\tilde{f}</math>:''' Функции <math>f</math> и <math>\tilde{f}</math> отличаются только в конечном числе точек <math>c_0, c_1, \dots, c_m</math>.
6.  '''Теорема об изменении в конечном числе точек:''' Изменение значений интегрируемой функции в конечном числе точек не влияет на её интегрируемость и значение интеграла.
7.  '''Вывод:''' Так как <math>\tilde{f} \in R[a, b]</math> и <math>f</math> отличается от <math>\tilde{f}</math> в конечном числе точек, то <math>f \in R[a, b]</math> и <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b \tilde{f}(x) \, dx</math>.

'''Другие важные классы интегрируемых функций:'''
*   '''Монотонные функции:''' Если <math>f</math> монотонна на <math>[a, b]</math>, то <math>f \in R[a, b]</math>.
*   '''Функции с конечным числом точек разрыва:''' Если <math>f</math> ограничена на <math>[a, b]</math> и имеет конечное число точек разрыва, то <math>f \in R[a, b]</math>. (КНФ - частный случай).

== Определенный интеграл. Арифметические свойства интегрируемых функций. ==

[https://вики.мадока.дети/mediawiki/index.php/МатАнПрод:ВопросыКлк2сем#Определенный_интеграл._Эквивалентность_различных_определений._Свойства_линейности_и_аддитивности_интеграла_Римана._Теорема_о_среднем. Интеграл]

Пусть <math>f, g \in R[a, b]</math> (т.е. <math>f</math> и <math>g</math> интегрируемы по Риману на <math>[a, b]</math>). Из необходимого условия интегрируемости следует, что <math>f</math> и <math>g</math> ограничены на <math>[a, b]</math>.

'''Теорема:'''
1.  '''Линейность:''' Для любых <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>, функция <math>(\alpha f + \beta g)</math> интегрируема на <math>[a, b]</math>, и
    :<math>\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx</math>.
2.  '''Произведение:''' Функция <math>(f \cdot g)</math> интегрируема на <math>[a, b]</math> (<math>f \cdot g \in R[a, b]</math>).
    ''(Важно: В общем случае <math>\int_a^b f(x)g(x) \, dx \neq \int_a^b f(x) \, dx \cdot \int_a^b g(x) \, dx</math>.)''
3.  '''Модуль:''' Функция <math>|f|</math> интегрируема на <math>[a, b]</math> (<math>|f| \in R[a, b]</math>).
4.  '''Частное:''' Если <math>\exists C > 0</math> такое, что <math>|g(x)| \ge C</math> для всех <math>x \in [a, b]</math>, то функция <math>\frac{f}{g}</math> интегрируема на <math>[a, b]</math>.
    ''(Достаточно доказать для <math>\frac{1}{g}</math>, тогда <math>\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}</math> будет интегрируема по п.2.)''

'''Доказательства (идеи, использующие критерий Дарбу в терминах колебаний):'''
Напомним критерий: <math>h \in R[a, b] \iff \lim_{\lambda(\tau) \to 0} \sum_{i=1}^{n} \omega(h, \Delta_i) \Delta x_i = 0</math>.
По условию, <math>\sum \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i \to 0</math> и <math>\sum \omega(g, \Delta_i) \Delta x_i \to 0</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>.

1.  '''Линейность:'''
    Используем свойство колебания: <math>\omega(\alpha f + \beta g, E) \le |\alpha| \omega(f, E) + |\beta| \omega(g, E)</math>.
    Тогда <math>\sum \omega(\alpha f + \beta g, \Delta_i) \Delta x_i \le |\alpha| \sum \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i + |\beta| \sum \omega(g, \Delta_i) \Delta x_i</math>.
    Правая часть стремится к <math>|\alpha|\cdot 0 + |\beta|\cdot 0 = 0</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>. Следовательно, левая часть тоже стремится к 0, и <math>(\alpha f + \beta g) \in R[a, b]</math>.
    Формула для интеграла получается из линейности интегральных сумм и линейности предела.

2.  '''Произведение:'''
    Так как <math>f, g</math> интегрируемы, они ограничены: <math>|f(x)| \le M_f, |g(x)| \le M_g</math>. Пусть <math>M = \max(M_f, M_g)</math>.
    Используем свойство колебания: <math>\omega(f \cdot g, E) \le M_f \omega(g, E) + M_g \omega(f, E) \le M (\omega(f, E) + \omega(g, E))</math>.
    Тогда <math>\sum \omega(f g, \Delta_i) \Delta x_i \le M \left( \sum \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i + \sum \omega(g, \Delta_i) \Delta x_i \right)</math>.
    Правая часть стремится к <math>M(0+0)=0</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>. Значит, <math>(f \cdot g) \in R[a, b]</math>.

3.  '''Модуль:'''
    Используем свойство: <math>||f(x)| - |f(y)|| \le |f(x) - f(y)|</math>. Взяв супремум, получаем <math>\omega(|f|, E) \le \omega(f, E)</math>.
    Тогда <math>\sum \omega(|f|, \Delta_i) \Delta x_i \le \sum \omega(f, \Delta_i) \Delta x_i</math>.
    Правая часть стремится к <math>0</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>. Значит, <math>|f| \in R[a, b]</math>.

4.  '''Частное (для <math>1/g</math>):'''
    Пусть <math>|g(x)| \ge C > 0</math>.
    Используем свойство: <math>|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(y)}| = \frac{|g(y)-g(x)|}{|g(x)g(y)|} \le \frac{\omega(g, E)}{C^2}</math>.
    Взяв супремум, получаем <math>\omega(\frac{1}{g}, E) \le \frac{\omega(g, E)}{C^2}</math>.
    Тогда <math>\sum \omega(\frac{1}{g}, \Delta_i) \Delta x_i \le \frac{1}{C^2} \sum \omega(g, \Delta_i) \Delta x_i</math>.
    Правая часть стремится к <math>\frac{1}{C^2} \cdot 0 = 0</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math>. Значит, <math>\frac{1}{g} \in R[a, b]</math>.
    Интегрируемость <math>\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}</math> следует из п.2.

== Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. ==

'''Определение:'''
Пусть функция <math>f</math> интегрируема на отрезке <math>[a, b]</math> (<math>f \in R[a, b]</math>). '''Интегралом с переменным верхним пределом''' называется функция <math>\Phi: [a, b] \to \mathbb{R}</math>, определенная как:
:<math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math>

'''Теорема 1 (О непрерывности интеграла с переменным верхним пределом):'''
Если <math>f \in R[a, b]</math>, то функция <math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math> непрерывна на <math>[a, b]</math> (<math>\Phi \in C[a, b]</math>).

'''Доказательство (идея):'''
1.  Рассмотрим приращение <math>\Delta \Phi = \Phi(x_0 + \Delta x) - \Phi(x_0)</math> для <math>x_0 \in [a, b]</math>.
2.  По свойству аддитивности: <math>\Delta \Phi = \int_a^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt - \int_a^{x_0} f(t) \, dt = \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt</math>.
3.  Так как <math>f \in R[a, b]</math>, она ограничена: <math>\exists M > 0 : |f(t)| \le M</math> для <math>t \in [a, b]</math>.
4.  Оценим <math>|\Delta \Phi|</math>:
    :<math>|\Delta \Phi| = \left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt \right| \le \left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} |f(t)| \, dt \right| \le \left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} M \, dt \right| = M |\Delta x|</math>.
5.  Так как <math>M |\Delta x| \to 0</math> при <math>\Delta x \to 0</math>, то по теореме о двух милиционерах <math>\lim_{\Delta x \to 0} \Delta \Phi = 0</math>.
6.  Это означает непрерывность <math>\Phi(x)</math> в точке <math>x_0</math>. Так как <math>x_0</math> произвольна, <math>\Phi(x)</math> непрерывна на <math>[a, b]</math>.

'''Теорема 2 (О дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом):'''
Пусть <math>f \in R[a, b]</math>. Если функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>x_0 \in [a, b]</math>, то функция <math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>, и
:<math>\Phi'(x_0) = f(x_0)</math>.

'''Доказательство (идея):'''
1.  Рассмотрим предел отношения приращений: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Phi(x_0 + \Delta x) - \Phi(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt</math>.
2.  Нужно показать, что этот предел равен <math>f(x_0)</math>. Рассмотрим разность:
    :<math>\left| \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt - f(x_0) \right| = \left| \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(t) \, dt - \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0) \, dt \right|</math>
    :<math>= \left| \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} (f(t) - f(x_0)) \, dt \right| \le \frac{1}{|\Delta x|} \left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} |f(t) - f(x_0)| \, dt \right|</math>.
3.  Так как <math>f</math> непрерывна в <math>x_0</math>: <math>\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0</math> такое, что если <math>|t - x_0| < \delta</math>, то <math>|f(t) - f(x_0)| < \epsilon</math>.
4.  Выберем <math>|\Delta x| < \delta</math>. Тогда для всех <math>t</math> между <math>x_0</math> и <math>x_0 + \Delta x</math> выполнено <math>|t - x_0| < \delta</math>, и значит <math>|f(t) - f(x_0)| < \epsilon</math>.
5.  Оценим интеграл:
    :<math>\left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} |f(t) - f(x_0)| \, dt \right| \le \left| \int_{x_0}^{x_0+\Delta x} \epsilon \, dt \right| = \epsilon |\Delta x|</math>.
6.  Подставляем в неравенство из п.2:
    :<math>\left| \frac{\Phi(x_0 + \Delta x) - \Phi(x_0)}{\Delta x} - f(x_0) \right| \le \frac{1}{|\Delta x|} (\epsilon |\Delta x|) = \epsilon</math>.
7.  По определению предела, это означает <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} = f(x_0)</math>, т.е. <math>\Phi'(x_0) = f(x_0)</math>.

'''Следствие 1 (Существование первообразной):'''
Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math> (<math>f \in C[a, b]</math>), то функция <math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math> является '''первообразной''' для <math>f</math> на <math>[a, b]</math>.
''(Это следует из Теоремы 2, так как если f непрерывна всюду на [a,b], то Ф'(x) = f(x) всюду на [a,b]).''

'''Следствие 2 (Связь первообразных):'''
Если <math>f \in C[a, b]</math>, то любая первообразная <math>F(x)</math> для <math>f(x)</math> на <math>[a, b]</math> представима в виде:
:<math>F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C</math>, где <math>C</math> — некоторая константа.
''(Следует из того, что две первообразные одной функции на отрезке отличаются на константу).''

== Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции. Формула Ньютона - Лейбница. ==

'''Определение (Интеграл с переменным верхним пределом):'''
Пусть <math>f \in R[a, b]</math>. Функция <math>\Phi: [a, b] \to \mathbb{R}</math> определена как:
:<math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math>

'''Теорема (О дифференцируемости <math>\Phi(x)</math>):'''
Пусть <math>f \in R[a, b]</math>. Если <math>f</math> непрерывна в точке <math>x_0 \in [a, b]</math>, то <math>\Phi(x)</math> дифференцируема в <math>x_0</math> и <math>\Phi'(x_0) = f(x_0)</math>.

'''Следствие (Существование первообразной у непрерывной функции):'''
Если функция <math>f</math> непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math> (<math>f \in C[a, b]</math>), то функция <math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math> является '''первообразной''' для <math>f</math> на <math>[a, b]</math>.
'''Доказательство:''' Поскольку <math>f</math> непрерывна в каждой точке <math>x \in [a, b]</math>, по предыдущей теореме функция <math>\Phi(x)</math> дифференцируема в каждой точке <math>x \in [a, b]</math>, и ее производная <math>\Phi'(x) = f(x)</math>. Это точно соответствует определению первообразной.
'''Вывод:''' Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную (конкретно, <math>\int_a^x f(t) dt</math> является одной из них).

'''Формула Ньютона-Лейбница'''

'''Теорема 1 (Формула Ньютона-Лейбница для непрерывных функций):'''
Пусть <math>f \in C[a, b]</math>, и <math>F(x)</math> — '''любая''' первообразная для <math>f(x)</math> на <math>[a, b]</math> (т.е. <math>F'(x) = f(x)</math> для <math>x \in [a, b]</math>). Тогда
:<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math>
Обозначение: <math>F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b</math>.

'''Доказательство:'''
1.  Поскольку <math>f \in C[a, b]</math>, функция <math>\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt</math> является одной из первообразных для <math>f(x)</math> на <math>[a, b]</math>.
2.  Любая другая первообразная <math>F(x)</math> для <math>f(x)</math> на <math>[a, b]</math> связана с <math>\Phi(x)</math> соотношением <math>F(x) = \Phi(x) + C</math> для некоторой константы <math>C</math>.
3.  Найдем <math>C</math>, подставив <math>x=a</math>:
    <math>F(a) = \Phi(a) + C = \int_a^a f(t) \, dt + C = 0 + C \implies C = F(a)</math>.
4.  Значит, <math>F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + F(a)</math>.
5.  Подставим <math>x=b</math> в это равенство:
    <math>F(b) = \int_a^b f(t) \, dt + F(a)</math>.
6.  Выражаем интеграл:
    <math>\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)</math>.

'''Теорема 2 (Обобщенная формула Ньютона-Лейбница):'''
Пусть:
1. Функция <math>f</math> интегрируема по Риману на <math>[a, b]</math> (<math>f \in R[a, b]</math>).
2. Функция <math>F(x)</math> непрерывна на <math>[a, b]</math>.
3. <math>F'(x) = f(x)</math> для всех <math>x \in [a, b]</math>, за исключением, возможно, конечного числа точек.
Тогда
:<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math>.

'''Доказательство (идея):'''
1.  Рассмотрим разбиение <math>\tau = \{x_0, \dots, x_n\}</math> отрезка <math>[a, b]</math>.
2.  <math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^{n} (F(x_i) - F(x_{i-1}))</math>.
3.  По теореме Лагранжа о среднем значении (которая применима на каждом <math>[x_{i-1}, x_i]</math>, так как <math>F</math> непрерывна и дифференцируема почти всюду), <math>\exists \xi_i \in (x_{i-1}, x_i)</math> такая, что <math>F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_i) \Delta x_i</math>. (Строгое обоснование требует аккуратности из-за точек недифференцируемости <math>F</math>).
4.  Тогда <math>F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = \sigma_\tau(f, \xi)</math>.
5.  Так как <math>f \in R[a, b]</math>, предел интегральных сумм <math>\sigma_\tau(f, \xi)</math> при <math>\lambda(\tau) \to 0</math> существует и равен <math>\int_a^b f(x) \, dx</math>.
6.  Поскольку левая часть <math>F(b) - F(a)</math> не зависит от разбиения <math>\tau</math>, получаем <math>F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx</math>.

== Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Свойства определённого интеграла от чётной, нечётной и периодической функций. ==

'''Теорема:'''
Пусть:
1.  Функция <math>f(x)</math> непрерывна на отрезке с концами <math>a</math> и <math>b</math>.
2.  Функция <math>x = \varphi(t)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math>[\alpha, \beta]</math> (<math>\varphi \in C^1[\alpha, \beta]</math>).
3.  Значения <math>\varphi(t)</math> при <math>t \in [\alpha, \beta]</math> принадлежат отрезку с концами <math>a</math> и <math>b</math>.
4.  <math>\varphi(\alpha) = a</math> и <math>\varphi(\beta) = b</math>.

Тогда:
:<math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt</math>

'''Доказательство (идея):'''
Пусть <math>F(x)</math> — первообразная для <math>f(x)</math>. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница <math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>.
Рассмотрим функцию <math>G(t) = F(\varphi(t))</math>. Ее производная <math>G'(t) = F'(\varphi(t)) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</math>.
Функция <math>G(t)</math> является первообразной для <math>f(\varphi(t))\varphi'(t)</math>.
По формуле Ньютона-Лейбница для правой части:
<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt = G(\beta) - G(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = F(b) - F(a)</math>.
Обе части равны <math>F(b) - F(a)</math>.

'''Интегрирование по частям в определенном интеграле'''

'''Теорема:'''
Пусть функции <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> непрерывно дифференцируемы на <math>[a, b]</math> (т.е. <math>u, v \in C^1[a, b]</math>). Тогда:
:<math>\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b v(x) u'(x) \, dx</math>
или в дифференциальной форме:
:<math>\int_a^b u \, dv = \left. uv \right|_a^b - \int_a^b v \, du</math>
где <math>\left. uv \right|_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)</math>.

'''Доказательство (идея):'''
Интегрируем тождество <math>(uv)' = u'v + uv'</math> на <math>[a, b]</math>:
<math>\int_a^b (uv)' \, dx = \int_a^b u'v \, dx + \int_a^b uv' \, dx</math>.
Левая часть по формуле Ньютона-Лейбница равна <math>\left. uv \right|_a^b</math>.
<math>\left. uv \right|_a^b = \int_a^b v \, du + \int_a^b u \, dv</math>.
Перенося <math>\int_a^b v \, du</math>, получаем формулу.

'''Интегрирование четных, нечетных и периодических функций'''

'''Теорема (Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку):'''
Если <math>f \in R[-a, a]</math> и <math>f</math> — нечетная функция (<math>f(-x) = -f(x)</math> для <math>x \in [-a, a]</math>), то:
:<math>\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0</math>
''(Док-во: Разбиваем на <math>\int_{-a}^0 + \int_0^a</math>. В первом делаем замену <math>x = -t</math>.)''

'''Теорема (Интеграл от четной функции по симметричному промежутку):'''
Если <math>f \in R[-a, a]</math> и <math>f</math> — четная функция (<math>f(-x) = f(x)</math> для <math>x \in [-a, a]</math>), то:
:<math>\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx</math>
''(Док-во: Аналогично нечетному случаю, замена <math>x = -t</math> в <math>\int_{-a}^0</math> приводит к <math>\int_0^a</math>.)''

'''Теорема (Интеграл от периодической функции по промежутку длиной в период):'''
Если <math>f \in R_{loc}(\mathbb{R})</math> (локально интегрируема) и <math>f</math> — периодическая с периодом <math>T</math> (<math>f(x+T) = f(x)</math>), то для любого <math>a \in \mathbb{R}</math>:
:<math>\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx</math>
''(Док-во: Разбиваем <math>\int_a^{a+T} = \int_a^0 + \int_0^T + \int_T^{a+T}</math>. В последнем интеграле делаем замену <math>x = t+T</math>.)''

== Приложение определённых интегралов к вычислению площадей плоских фигур. Понятие, свойства и вычисление площади плоской фигуры. ==

== Приложение определённых интегралов к вычислению объемов тел. Понятие, свойства и вычисление объёма тела. ==

== Приложение определённых интегралов к вычислению длин дуг кривых. Понятия пути, гладкости пути, эквивалентности путей, кривой, гладкости кривой, ломаной, вписанной в путь, длины пути, длины кривой, спрямляемости пути. Свойства эквивалентных путей. Вычисление длины вписанной ломаной. Свойство аддитивности длины пути.==

== Приложение определённых интегралов к вычислению длин дуг кривых. Понятия пути, гладкости пути, эквивалентности путей, кривой, гладкости кривой, ломаной, вписанной в путь, длины пути, длины кривой, спрямляемости пути. Достаточное условие спрямляемости пути. Свойство непрерывной дифференцируемости длины части пути. Вычисление длины пути. ==

== Несобственные интегралы: основные понятия, свойства линейности, монотонности, аддитивности по промежутку. Критерий сходимости несобственного интеграла в терминах остатка. ==

== Несобственные интегралы: основные понятия. Формула интегрирования по частям. Формула замены переменной. ==

== Несобственные интегралы: основные понятия. Критерий сходимости несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Признаки сравнения. ==

== Несобственные интегралы: основные понятия. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Свойства сходимости абсолютно сходящегося интеграла и инвариантности типа сходимости несобственного интеграла при изменении подынтегральной функции на аддитивное абсолютно интегрируемое слагаемое. ==

== Несобственные интегралы: основные понятия. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. Главное значение несобственного интеграла. ==