МатАнПрод:Интегрирование дифференциального бинома

Определение: Интеграл вида $$\int x^m(a{x}^n+b{)}^{p}dx$$ где $m,n,p\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ - рациональные числа, $a,b\in \mathbb{ℝ}$, $a\ne 0,b\ne 0,n\ne 0,p\ne 0$. Этот интеграл называется интегралом от дифференциального бинома.

Теорема Чебышёва: Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях: 1. $p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (p - целое). Подстановка: $x=t^q$, где $q=\text{НОК}(\text{знаменатель }m,\text{ знаменатель }n)$. 2. $\frac{m+1}{n}\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ ($\frac{m+1}{n}$ - целое). Подстановка: $a{x}^n+b=t^s$, где $s=\text{знаменатель }p$. 3. $\frac{m+1}{n}+p\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ ($\frac{m+1}{n}+p$ - целое). Подстановка: $a+b{x}^{-n}=t^s$ (эквивалентно $a{x}^n+b=x^n{t}^s$), где $s=\text{знаменатель }p$.

Пример: Рассмотрим пример из конспекта: $\int \frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}=\int (1+x^4{)}^{-1/4}dx$. Здесь $m=0,n=4,p=-1/4$. $a=1,b=1$. Проверяем случаи Чебышёва: 1. $p=-1/4\notin \mathbb{\mathbb{Z}}$. 2. $\frac{m+1}{n}=\frac{0+1}{4}=1/4\notin \mathbb{\mathbb{Z}}$. 3. $\frac{m+1}{n}+p=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$. Подходит третий случай. Подстановка: $1+x^{-4}=t^4$. $x^{-4}=t^4-1⟹x^4=\frac{1}{t^4-1}$. $x=(t^4-1{)}^{-1/4}$. $dx=-\frac{1}{4}(t^4-1{)}^{-5/4}\cdot 4t^{3}dt=-t^3(t^4-1{)}^{-5/4}dt$. $1+x^4=1+\frac{1}{t^4-1}=\frac{t^4-1+1}{t^4-1}=\frac{t^4}{t^4-1}$. $\sqrt[4]{1+x^4}={\left(\frac{t^4}{t^4-1}\right)}^{1/4}=\frac{t}{(t^4-1{)}^{1/4}}$. Интеграл: $I=\int \frac{1}{\frac{t}{(t^4-1{)}^{1/4}}}\cdot (-t^3(t^4-1{)}^{-5/4})dt=\int \frac{(t^4-1{)}^{1/4}}{t}(-t^3(t^4-1{)}^{-5/4})dt$ $I=-\int t^2(t^4-1{)}^{-1}dt=-\int \frac{t^2}{(t^2-1)(t^2+1)}dt$ Получили интеграл от рациональной функции. Раскладываем на простейшие: $\frac{t^2}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+1}$ $A=\frac{1^2}{(1+1)(1^2+1)}=\frac{1}{4}$ $B=\frac{(-1{)}^2}{(-1-1)((-1{)}^2+1)}=\frac{1}{-2\cdot 2}=-\frac{1}{4}$ $t=0⟹0=-A+B+D⟹D=A-B=1/4-(-1/4)=1/2$. $t=2⟹\frac{4}{(1)(3)(5)}=\frac{A}{1}+\frac{B}{3}+\frac{2C+D}{5}$ $\frac{4}{15}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}+\frac{2C+1/2}{5}=\frac{3-1}{12}+\frac{2C+1/2}{5}=\frac{1}{6}+\frac{2C+1/2}{5}$ $\frac{4}{15}-\frac{1}{6}=\frac{8-5}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}=\frac{2C+1/2}{5}⟹\frac{1}{2}=2C+\frac{1}{2}⟹2C=0⟹C=0$. $-\int (\frac{1/4}{t-1}-\frac{1/4}{t+1}+\frac{1/2}{t^2+1})dt=-\frac{1}{4}\ln |t-1|+\frac{1}{4}\ln |t+1|-\frac{1}{2}\arctan t+C$ $=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{t+1}{t-1}\right|-\frac{1}{2}\arctan t+C$, где $t=\sqrt[4]{1+x^{-4}}=\frac{\sqrt[4]{1+x^4}}{x}$.